Números Amigos?!?!?!?!

A Matemática é pautada por uma série de termos que, geralmente causam estranheza a aqueles que estão tomando contatos iniciais com esse mundo. Por vezes tais estranhezas causam até certa diversão ou mesmo certo espanto.

Veja o exemplo de Números Primos. Quando falamos de Primos ou Primos entre si, vem a nossa memória a idéia de parentesco entre os números dados.

Por definição, números primos são números naturais maiores que 1 e que são divididos somente pelos números 1 e por ele mesmo.

E o que dizer sobre os números amigos ou números amigáveis?

Quando usamos os termos amigos ou amigáveis, instintivamente pensamos em números que vão juntos ao cinema, curtem as mesmas coisas, compartilham seus segredos ou que tem uma relação de amizade.

Claro que nem tudo que define uma amizade entre duas pessoas se aplica aos números, mas algumas definições sobre as amizades podem ser verdadeiras entre os números amigos.

Temos então a definição de números amigos, pares de números que são chamados de amigos se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro.

Tomemos como exemplo os números 220 e 284, onde perceberemos então que:

Divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110
Somando os divisores: 1 + 2 + 4 + 5 + 1 0 + 11+ 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Divisores de 284: 1, 2, 4, 71, 142
Somando os divisores: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Então os números 220 e 284 são números amigos.

Por enquanto não existe uma fórmula matemática ou método conhecido no intuito de listar todos os pares de números amigáveis, o que se sabe é que a descoberta deste par de números é atribuída à Pitágoras (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-pitagoras-de-samos.html).

Houve uma aura mística em torno deste par de números, e estes representaram papel importante na magia, feitiçaria, na astrologia e na determinação de horóscopos.

Outros números amigos foram descobertos com o passar do tempo. Pierre Fermat (http://professorjairojr.blogspot.com/2010/10/grandes-matematicos-pierre-fermat.html) anunciou em 1636 um novo par de números amigos formando por 17296 e 18416, mas na verdade tratou-se de uma redescoberta, pois, o árabe al-Banna (1256 - 1321) já havia encontrado este par de números no fim do século XIII.

Leonhard Euler, matemático suíço, estudou sistematicamente os números amigos e descobriu em 1747 uma lista de trinta pares, e ampliada por ele mais tarde para mais de sessenta pares. Todos os números amigos inferiores a um bilhão já foram encontrados.

Referências:

www.somatematica.com.br/curiosidades.php

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/namigos.html

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-amigaveis.htm

Brinquedo de Gênio - O Quebra-Cabeça de Arquimedes

Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da física, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-arquimedes-de.html) agora é apontado também como o possível inventor de um dos passatempos mais antigos do mundo.

De todos os seus feitos, o que levou mais fama foi a descoberta do empuxo. Conta-se que, enquanto tomava banho de banheira, o grego se deu conta de que o volume de seu corpo imerso deslocava para cima um volume de água de igual valor. Além disso, seu corpo imerso sofria a ação de uma força vertical, para cima - o empuxo -, de valor exatamente igual ao peso da água que era deslocada pelo seu corpo. Entusiasmado com a descoberta o gênio teria saído nu às ruas gritando "Eureca!" (descobri, em grego).

Arquimedes também deixou para a humanidade os benefícios do parafuso, das roldanas, das alavancas e invenções de ataque e defesa militares, como a catapulta. Como matemático, o grego é famoso pelos seus trabalhos e descobertas na geometria, como o cálculo do número "pi" e a medição de áreas de figuras geométricas.

Só que agora, investigando velhos pergaminhos e manuscritos, o historiador de matemática Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia, afirma que Arquimedes foi também pioneiro em análise combinatória, área que só ganhou mais incentivo e aplicação com os computadores, no século 20. Os matemáticos desse ramo procuram determinar de quantas maneiras um problema pode ser resolvido. E esses estudos podem ser aplicados na busca do melhor jeito de se realizar uma tarefa. Fazemos algo parecido, por exemplo, quando temos convidados para jantar e queremos saber de quantas formas eles podem ser distribuídos à mesa, e qual a melhor distribuição de pessoas nas cadeiras (quem ao lado de quem).

Os pergaminhos, depois de passar pelas mãos de vários povos da Idade Média, desaparecer várias vezes, ir parar em mosteiros em que monges os utilizaram para escrever orações, sumir de novo e sofrer a ação de mofos, foram reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador para separar o que seria original (transcrição do trabalho de Arquimedes) de ruídos (orações escritas, mofos etc.), a equipe liderada por Netz chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho inédito sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.

O trabalho descreve um quebra-cabeça que consiste em um quadrado fracionado em 14 partes. O objetivo do jogo é, depois de embaralhados, juntar esses 14 pedaços para formar novamente o quadrado ou ainda outras figuras conhecidas. O stomachion é parecido com o Tangram, mais difundido hoje, o desafio chinês de 7 peças.

Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter perdido seu tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses para crianças. Mas analisando os manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado. Hoje, essa é uma questão para os especialistas em análise combinatória responderem. E eles podem recorrer à ajuda de computadores. Netz propôs o problema para matemáticos atuais da área de combinatória e eles, depois de seis semanas, concluíram que a resposta é 17.152.

Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. E isso há 2.200 anos, enquanto descobria leis da natureza, relações geométricas e inventava máquinas. Ele só não se preocupou em proteger sua própria vida. Conta-se que, absorto em seus estudos, foi morto por um soldado romano durante a invasão de sua cidade, enquanto estudava e escrevia equações matemáticas nas areias da praia de Siracusa, na atual Sicília. Arquimedes teria se recusado a parar de estudar durante o cerco.

Fonte: KAWANO, Carmen. O quebra-cabeça de Arquimedes: pergaminhos revelam trabalho inédito do grego em Análise Combinatória. Revista Galileu, nº 151, Rio de Janeiro. Editora Globo. 2004. Disponível em http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT669583-2680,00.html

Obras Fundamentais na História da Álgebra

Comumente respondo perguntas de meus alunos sobre quem inventou a matemática, ou quem inventou a Álgebra, e correntemente digo que tanto a matemática como a álgebra não são obras de um único homem, ou de um único pensador. Tanto uma como a outra como a conhecemos hoje são as compilações de diversos pensadores onde os pensamentos e métodos se complementaram e se aperfeiçoaram no decorrer dos séculos.

Abaixo segue uma lista das principais obras, ou como o próprio nome diz, uma lista das Obras Fundamentais na História da Álgebra:

Por volta do ano 300 a. C. o matemático grego Euclides (325-265 a. C.) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos.html) escreveu a obra intitulada Elementos, constituída por treze livros.

Ele desenvolveu uma técnica denominada Álgebra geométrica, em que representava as expressões algébricas por meio da descrição de segmentos, áreas e volumes em Geometria.

Outra obra importante é a Aritmética, de Diofante (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/diofante-de-alexandria.html). Esse matemático viveu por volta do século III d. C., em Alexandria, e acredita-se ter sido o primeiro a usar algumas palavras abreviadas em textos matemáticos, o que seria o início da linguagem (notação) algébrica.

No século IX d. C., o matemático Al-Khowarizmi (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-al-khwarizmi.html) escreveu o livro Al-Jabr-Wa al-Muqabalah, cujo título possivelmente deu origem ao termo álgebra.

O francês François Viète (1540-1603) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/06/francois-viete.html) introduziu, no fim do século XVI, a primeira notação algébrica sistemática em seu livro In artem analyticam isagoge (Introdução à arte analítica), publicado na cidade francesa de Tours em 1591.

Mais tarde, diversos matemáticos, tais como René Descartes (1596-1650)  (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/07/rene-descartes.html), trataram problemas de natureza algébrica por meio da nova notação. Entre as obras de Descartes, destaca-se o Discours de la méthode (Discurso sobre o método), de 1637.

Claro que, ao observar os livros e os pensadores envolvidos neste ensaio, não podemos dizer que a Álgebra ou a própria Matemática como a conhecemos hoje tem somente estes responsáveis, no estudo aprofundado, mesmo deste blog, ou de algumas áreas mais diversificadas do conteúdo matemático, notaremos a contribuição de diversos ícones do pensamento humano e mesmo diversos filósofos, médicos, advogados e tantos outros pensadores que contribuíram para a "Rainha das Ciências" e para o seu desenvolvimento.

Fonte: BARROSO, Juliane  Matsubara. Matemática - Problemas, exercícios etc - Projeto Araribá: matemática. Editora Moderna, São Paulo, 2006.

A Geometria dos Fractais

Em seu livro de 1983, intitulado "The Fractal Geometry of Nature" (A Geometria Fractal da Natureza)Benoît Mandelbrot, diz:

"Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos,
o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta."

A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana.

Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros. Porém, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia e matemática. O termo "fractal" foi criado em 1975 pelo pesquisador Benoît Mandelbrot, o "pai dos fractais".

Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa "irregular" ou "quebrado".

Uma primeira definição matemática, pelo próprio Mandelbrot, diz: - "Um conjunto é dito Fractal se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão topológica". No decorrer do tempo ficou claro que esta definição era muito restritiva embora tenha motivações pertinentes.

Uma definição mais simples é esta: "Fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita."

Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual. Contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria:

Complexidade Infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.


Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.

A imagem anterior ("A Curva de Koch") é um exemplo geométrico da construção de um fractal. Um mesmo procedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa. Cada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original. Assim, usando um novo conceito de dimensão, os matemáticos calcularam a dimensão fractal deste objeto como sendo:

D = log(n.cópias)/log(escala) = log(4)/log(3) = 1,26185.

A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos sangüíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dos fractais.

O estudo dos fractais está ligado à teoria do caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório. Na mitologia grega, Caos era o estado não-organizado, ou o Nada, de onde todas as coisas surgiam. Mas não era apenas o mero vácuo e sim o estado de escuridão e nebulosidade infinita. A cosmogonia de Orphic afirma que Chronos (personificação do tempo) deu origem a Ether e a Caos sendo que este formou um enorme ovo de onde nasceu o Paraíso, a Terra e Eros. De acordo com a Teogonia de Hesiold, o Caos precedeu a origem não só do mundo mas também dos deuses...

Hoje em dia - com o desenvolvimento da matemática e ciência - a Teoria do Caos surgiu para compreender as flutuações erráticas e irregulares da natureza, resíduos da formação primordial vinda do grande ovo de Caos. Sistemas de comportamento caótico são encontrados em muitos campos da ciência e engenharia e são estudados, pois muitas vezes são achados padrões que mostram uma estrutura ordenada no sistema.

Uma característica de um sistema caótico é que ele sempre mostra "sensibilidade às condições iniciais", isto é, qualquer perturbação no estado inicial do sistema, não importando quão pequena seja, levará rapidamente a uma grande diferença no estado final, fazendo com que a previsão do futuro torne-se muito difícil. Porém, compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.

Apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os fractais ainda têm um longo caminho pela frente. Faltam muitas ferramentas e vários problemas continuam sem solução. Uma teoria completa e unificada é necessária e a pesquisa prossegue neste sentido.

"O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem, e ele contém o universo infinito."
(Frances A. Yates)

A imagem acima é um fractal gerado pela Textura de Perlin, que representa a complexidade de diversos tipos de texturas encontradas normalmente na natureza (ex: em pedras, madeira, fogo, fumaça, água, núvens, pele, etc.). São equações matemáticas que geram um tipo especial de "ruído semi-aleatório" que é convertido na forma imagens. Muitos filmes utilizam texturas deste tipo, geradas com computaçào gráfica.

Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milênios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.

Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram na terra - existe uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa geometria toda certinha. É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias - como a dimensão 0,5, por exemplo, típica de um objeto que é mais do que um simples ponto com dimensão zero, porém menos do que uma linha com dimensão 1.Só a chamada geometria dos fractais consegue descrevê-lo.

Essa nova área das ciências matemáticas vem tendo uma enorme aplicação. Para os biólogos, ajuda a compreender o crescimento das plantas. Para os físicos, possibilita o estudo de superfícies intrin-cadas. Para os médicos, dá uma nova visão da anatomia interna do corpo. Enfim, não faltam exemplos. Um dos mais belos - e, sem dúvida, o mais colorido - é o uso dos fractais na arte. Quando os computadores são alimentos com equações, eles criam magníficos desenhos abstratos.

Dizem que uma imagem pode substituir mil palavras. No caso, um único fractal pode ocupar o espaço de 100 000 palavras na memória do computador. E o objetivo dos pesquisadores é de que ele sirva por outras 100 000 palavras para mostrar ao público leigo aquilo que passa na cabeça de um matemático. "Muitas vezes, os matemáticos perdem anos tentando encontrar ou decifrar uma fórmula sem finalidade prática alguma - ao menos imediata" diz Rossetti Baptista. "Fazem isso porque a matemática é lúdica, com suas idéias abstratas. E é um pouco desse lado lúdico que as pessoas podem experimentar ao ver uma obra cuja base é uma equação."

Na opinião do professor José Teixeira Coelho Neto, da Escola de Comunicação da USP, a linguagem dos fractais tem tudo a ver com o presente. "Há muito tempo existem uma discussão na Arquitetura entre modernos e pós-modernos", exemplifica. Segundo ele, os modernos encaram os ângulos retos, a geometria clean como algo mais evoluído, enquanto os pós-modernos brigam contra esse conceito. "Assim, a geometria dos fractais vem como um reforço para o pós-modernismo."



Fonte: Revista SUPERINTERESSANTE, Outubro 1994 - Edição 85 - Pg.22-27
Site: http://www.fractarte.com.br/

O NÚMERO DE OURO

Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina. Se quiséssemos dividir um segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:

“Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.

O Papiro de Rhind (Egípcio)ou Ahmes que mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Refere-se a uma "razão sagrada" que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou seção áurea também aparece em muitas estátuas da antiguidade.

Construído há muitas centenas de anos depois, por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contem a fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. Fídias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construção deste templo. A designação adaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phi maiúsculo).

Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal.

os gregos consideraram que o retângulo cujos lados possuía esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a seção que se acredita ser a seção de ouro.

Leonardo da Vinci revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, a qual foi inspirada no pentágono regular e estrelado inscrito na circunferência. Já a Mona Lisa, que apresenta o retângulo de Ouro em múltiplos locais: (a) desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um retângulo de Ouro; (b) dividindo este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido também é de Ouro e (c) as dimensões do quadro também representam a razão de Ouro.

O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618.

Na teoria contida no livro Liber Abacci, do matemático italiano Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, ( http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-leonardo-de-pisa.html ) é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro contendo o número de ouro. Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): _Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida. Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

De uma forma mais simplificada podemos chegar ao numero de ouro e para isso vamos utilizar o seguinte processo: Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de A) , de maneira que a razão do segmento de reta mais pequeno (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC).

A razão entre os comprimentos destes segmentos designa-se habitualmente por seção
áurea. Então, tem-se que:

(AB) / (BC) = (BC) / (AC)

Pode-se então definir o número de ouro se fizer:

AB = y
BC = x
AC = x + y

O número de ouro vai ser a razão entre x e y:

y / x = x / ( x + y )

Se ainda substituir y por 1 tem-se:

1 / x = x / ( x + 1 )

Multiplicando ambos os lados por x ( x + 1 ), obtém-se:

x² - x - 1 = 0

Resolvendo esta equação quadrática, obtém-se as seguintes soluções:

x1 = ( 1 + raiz de 5 ) / 2
x2 = ( 1 - raiz de 5 ) / 2

Não se irá considerar o segundo valor (x2), tendo em conta que o comprimento de um polígono, nunca poderá ser negativo. Chega-se então, ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperado número de ouro Ф (Phi):

Ф = (1 mais a raiz de 5) divido por 2

Referências:
http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/home.html
http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf

TEORIA DO CAOS

Não é sempre que podemos assistir ao nascimento de uma nova ciência. No entanto, isso aconteceu em 1955, quando um cientista chamado Edward Norton Lorenz, com 38 anos de idade, começou a trabalhar no corpo docente da Boston Tech (hoje chamada de MIT - Instituto de Tecnologia de Massachusetts). O departamento era o de Meteorologia, que acabava de iniciar um projeto de previsão estatística do tempo.Nos Estados Unidos, a previsão do tempo é uma verdadeira mania nacional, e os comentaristas do tempo nos noticiários da TV são venerados como astros da telinha. Logicamente, a previsão do tempo tem um papel muito importante, não só para a vida do cidadão comum, mas principalmente para a agricultura e os negócios que giram em torno dela. É essencial saber com antecedência o que vem por aí: tempestades, furacões, etc.

Edward Norton Lorenz

Previsão linear

As previsões estatísticas do tempo eram do tipo linear, ou seja, as equações das previsões tinham constantes e apresentavam uma certa periodicidade inerente ao sistema linear.Não satisfeito com os resultados das previsões por equações lineares, Lorenz propôs, em um simpósio de 1955, a utilização de equações não lineares, ou seja, em que, ao invés de as constantes multiplicarem as variáveis, as funções multiplicariam.Exemplo:ax2 + bx + c = 0onde a, b, c são constantes = equação linearQuando a, b, c forem funções, normalmente em razão do tempo, e não constantes, a equação acima se torna não linear.

Condições iniciais e resultados

Tais equações possuem soluções não periódicas, gerando um modelo mais próximo da realidade. No final da década de 1950, Lorenz parou um processamento no meio e, ao retomá-lo, percebeu que os resultados não eram os mesmos do processamento anterior. Os resultados eram parecidos nos instantes iniciais, mas as alterações ficavam cada vez maiores diferindo muito dos processamentos anteriores.Ao invés de jogar aquela pilha de resultados no lixo, começou a analisá-los e chegou à conclusão de que quando se mudavam as condições iniciais os resultados finais eram totalmente diferentes. Isto foi denominado de caos.Até aqui tudo bem, mas, a resolução de tais equações requer um esforço computacional enorme. Supercomputadores são utilizados para este fim. Normalmente a resolução destas equações é feita por processos numéricos e não literais.

Efeito borboleta

Um dos elementos chaves da teoria do caos é o chamado "efeito borboleta", segundo o qual o bater de asas de uma borboleta pousada na muralha da China pode causar uma tempestade em Nova York. Isso significa, na verdade, que pequenos fatores podem provocar grandes transformações.Veja que se a previsão meteorológica é difícil em países temperados, nos paises tropicais os fatores influentes e, por conseguinte, as variáveis são inúmeras e mais complexas.

Conseqüências inesperadas

A teoria do caos deu origem aos fractais e suas bases foram expandidas em outras áreas. Como um pequeno boato pode influenciar a bolsa de valores?Se você se atrasar um minuto para sair de casa, pode perder o metrô de um certo horário, que pode provocar a perda de um ônibus para o aeroporto, que pode evitar a tomada de um avião que acabou caindo e matando todos os passageiros e tripulantes.

Resumidamente a teoria do Caos é que uma pequenina mudança no ínicio de um evento qualquer pode trazer conseqüências enormes e absolutamente desconhecidas no futuro. Ou seja, uma ação realizada por você ou qualquer outra pessoa ou um animal hoje, trará uma resultado amanhã, este desconhecido. Nas primícias da década de 1960, o então meteorologista americano Edward lorenz descobriu que fenômenos aparentemente simples tinham um comportamento tão desordenado quanto a vida. Ele chegou a tal conclusão ao testar um programa de computador que simulava o movimento de massas de ar. Até que num dia Lorenz teclou um dos números que alimentavam os cálculos da máquina com algumas casas decimais a menos, com a espectativa de que o resultado mudasse pouco. No entanto a alteração insignificante transformou completamente o padrão das massas de ar. Para o meteorologista, era como se “ o bater das asas de uma borboleta no Brasil causasse, tempos depois, um tornado no texas”. Com base em tais observações, ele formulou equações que mostravam o tal “efeito borboleta”. Estava criada a teoria do caos. Com o passar do tempo, cientistas concluíram que a mesma imprevisibilidade aparecia em quase tudo, da quantidade que o olho pisca até a cotação da Bolsa de Valores. Com tudo, na decada de 1970, o matemático polonês benoit mandelbrot deu um novo impulso à teoria do caos, ao notar que as equações de Lorenz coincidiam com as que ele próprio havia feito quando desenvolveu os fractais (figuras geradas a paritir de fórmulas que retratam matematicamente a geometria da natureza, como o relevo do solo ou as ramificações de veias e artérias). A união da matemática de Mandelbrot e o experimento de Lorenz, indica que a teoria do caos está na essência de tudo, modelando o universo.

GRANDES MATEMÁTICOS - Gauss

Carl Friedrich Gauss

Conta a história que, no fim do século XVIII, um enraivecido professor, numa pequena escola no interior da Alemanha, afim de punir seus alunos indisciplinados além do comum àquela época mandou que estes, como castigo, adicionassem os números inteiros positivos de 1 a 100. O professor imaginava que os alunos levariam um bom tempo para encontrar tal soma dos elementos dessa sequência.

Passados alguns instantes, um aluno levanta-se e dá a resposta: 5050. O professor, acreditando ser mais uma brincadeira do menino, repreende-o e pediu para que tentasse realmente fazer as contas.

O precoce alunoexplicou ao professor seu raciocínio: "Então, 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, e por ai em diante, até finalmente 49+52=101 e 50+51=101. Isto dá um total de 50 pares de números cuja soma dá 101. Portanto, a soma total é 50101=5050."

O professor, que ao menos tinha realizado a conta, compreendeu seu raciocínio e o parabenizou.

Acontece que, o humilde aluno era Carl Friedrich Gauss, e na época tinha pouco mais de 8 anos.

Por esse feito Gauss teve um estreito contacto com Martin Bartels, na altura com 18 anos, assistente de Büttner, o enraivecido professor que dera a tarefa de calcular do início da história, nas aulas o que constituiu um golpe de sorte, não tanto para Gauss que pouco tinha a aprender com ele mas para Bartels que, mais tarde, se tornou professor de Matemática.


Perante este génio, tanto Büttner como Bartels visitaram o pai de Gauss para lhe falarem da educação do seu filho. Gebhard estava habituado a que a sua vontade fosse lei na família e havia idealizado que os seus dois filhos seguissem os seus passos (o que, de facto, aconteceu com o meio irmão de Carl Friedrich, George, fruto do primeiro casamento de seu pai). Inicialmente Gebhard mostrou-se relutante e perguntou-lhes (com razão) como é que iria arranjar dinheiro suficiente para subsidiar a educação superior do seu filho. A isto Bartels e Büttner responderam com o único argumento que era habitual e, frequentemente, o único possível, nesses dias: "Não temos dúvida que arranjaremos qualquer pessoa distinta que queira sirvir de patrono a um tal génio."



Mais tarde, Gauss dedicou-se ao estudo da Matemática e da Física. Em 1792, Gauss ingressou no Collegium Carolinum, onde permaneceu por três anos, estudando as obras mais notáveis de Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange e Isaac Newton. É nesse período que Gauss principia suas investigações sobre aritmética superior, que o tornariam imortal e lhe dariam o título de "príncipe da matemática".

Gauss deixou o Collegium Carolinum em outubro de 1795, para entrar na Universidade de Göttingen. Em 1796 define suas preferências definitivamente, decidindo dedicar-se à matemática. No dia 30 de março desse ano, Gauss começa a redigir um diário científico, anotando as suas descobertas. Esse diário só foi divulgado 43 anos após a morte de Gauss, quando, para isso, a Sociedade Real de Göttingen obteve a permissão do neto de Gauss. O diário contém 146 anotações, breves exposições dos descobrimentos feitos pelo seu autor no período de 1796 a 1814.

Os três anos passados em Göttingen foram dos mais prolíficos de sua vida. As ideias que vinha recolhendo desde os 17 anos, foram, nessa época, ordenadas e esmiuçadas, resultando, em 1798, as Indagações Aritméticas, por muitos considerada a obra-prima de Gauss.

Uma segunda fase da vida de Gauss tem início no primeiro dia do século 19. Giuseppe Piazzi, astrônomo italiano, descobriu um pequeno planeta, Ceres, o primeiro de vários planetas menores hoje conhecidos. A observação do corpo celeste era extremamente difícil, e calcular sua órbita, partindo dos poucos dados obtidos, uma tarefa digna de um gênio. Gauss investigou a órbita, vendo todos os seus cálculos confirmados.

Gauss casou-se, pela primeira vez, em 1805, quando seu protetor, o duque de Braunschweig, aumentou sua pensão. Nesse mesmo ano, porém, o duque faleceu e o matemático precisou encontrar um meio de manter a família. A sua fama já se espalhara pela Europa e Gauss recebeu convite para ocupar o posto que fora de Euler, em São Petersburgo, mas acabou aceitando a direção do Observatório de Göttingen.

Os anos de 1811 e 1812 foram os melhores de sua vida, desfrutando Gauss de certa tranquilidade. Logo após seu segundo matrimônio, foi observado o cometa de 1811 e Gauss teve a satisfação de constatar que o astro seguia exatamente a trajetória por ele calculada.

No período de 1821 a 1848, Gauss foi conselheiro científico dos governos de Hannover e da Dinamarca, completando minuciosos estudos de geodésia, que o levaram a examinar, em toda a sua generalidade, problemas relativos às superfícies curvas e a questão da representação conforme.

Gauss faleceu lúcido e cônscio da importância de seus trabalhos, aos 78 anos de idade.


Principais trabalhos

Investigando uma questão aparentemente simples - quantos dígitos tem o período de uma decimal periódica? -, Gauss descobre a lei da reciprocidade quadrática e introduz a terminologia das congruências.

Aos 18 anos inventa o método dos mínimos quadrados, indispensável para as medições geodésicas. A Lei de Gauss, relativa à distribuição dos erros, e sua curva normal (em forma de sino) são amplamente conhecidas de todos os que estudam estatística.

Algumas anotações de seu diário mostram que ele descobriu a dupla periodicidade de certas funções elípticas. E outra anotação comprova que ele já havia considerado essa periodicidade no caso geral. Esses descobrimentos, contudo, não chegaram a ser divulgados, não se sabe por qual motivo.

Em 1812, Gauss publica seus estudos sobre as séries hipergeométricas. O interesse de tais séries está em que englobam, como casos particulares, muitas das séries mais notáveis da análise (entre as quais as que permitem cálculo e construção de tabelas de funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais).

Gauss também abriu novos rumos com a invenção de um tipo novo de números, os inteiros complexos gaussianos, da forma a+bi, em que "a" e "b" são inteiros racionais e "i" a unidade imaginária.

Gauss possuía, ainda, grande habilidade manual. Inventou o heliótropo; aperfeiçoou alguns instrumentos de observação, utilizados na astronomia; inventou o magnetômetro bifilar; e descobriu o telégrafo elétrico.

Gauss também dedicou-se também a trabalhos da Teoria dos Números, Geometria Diferencial, Magnetismo, Astronomia, Geodésia e Ótica. Por muitos, é considerado o maior matemático de toda história, sendo conhecido como o "O Princípe dos Matemáticos".

Incontestávelmente, é exemplo do espírito afeito ao rigor, Gauss está ao lado de Arquimedes e Newton como um dos três gênios da matemática de todos os tempos.


Referências Bibliográficas:
http://www.portalpositivo.com.br/
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/gauss/gauss.htm
http://educacao.uol.com.br/biografias/carl-friedrich-gauss.jhtm

GRANDES MATEMÁTICOS - Richard Dedekind

A definição de números irracionais, completa e como a conhecemos hoje, deve-se ao matemático alemão Richard Dedekind, num incrível trabalho, intitulado Continuidade e números irracionais, Dedekind definiu os conceitos modernos dos números irracionais. Veja um pouco sobre a sua vida.

O último dos quatro filhos de Julius Levin U. Dedekind, Richard nasceu em Bronswick em 6 de outubro de 1831. Estudando em um ginásio de sua cidade, ele não demonstrou qualquer evidência de seu gênio no período dos 7 aos 16 anos.

Seus interesses iniciais eram Química e Física, mas aos 17 anos voltou-se para a Matemática a fim de esclarecer-se. Em 1848 entrou para o Colégio Carolina, onde dominou os elementos de Geometria Analítica, Álgebra Avançada, Cálculo e Mecânica Superior.



Em 1850 aos 19 anos ingressou na famosa universidade de Gottingen, tendo como principais orientadores, Moritz Stern, Gauss e o físico Wilhelm Weber. Desses mestres recebeu uma base completa de Cálculo, Geodésica, Aritmética Avançada e Física Experimental. Além disso, passou dois anos em Berlim, estudando com Jacobi, o grande físico Steiner e o grande matemático Peter Dirichlet.



Em 1852 aos 21 anos, Dedekind recebeu seu grau de Doutor defendendo uma tese sobre integrais Eulerianas. Com relação a esta dissertação, Gauss disse em sua avaliação: "o trabalho do Sr. Dedekind relaciona-se com a pesquisa em Cálculo Integral, não sendo, de forma alguma, inexpressivo. O autor evidencia não apenas bom conhecimento deste relevante campo, como também independência de pensamento, o que prognostica um futuro promissor. Como um teste para admissão eu considero o trabalho totalmente satisfatório", o que representa a polidez costumeira na aceitação de dissertações e não se pode saber se Gauss realmente anteviu sua penetrante originalidade.



Aos 26 anos em 1857, foi designado professor na Escola Politécnica de Zurique, onde permaneceu por cinco anos, voltando em 1862 para Bronswich como professor da Escola Técnica. Inexplicavelmente ocupou um lugar relativamente obscuro durante 50 anos.



Até sua morte aos 85 anos, permaneceu com a mente clara e o corpo robusto. Ele nunca se casou, vivendo com sua irmã Julie até sua morte em 1914. Viveu bastante para ver alguns de seus trabalhos sendo apresentada a todos os estudantes de Análise por uma inteira geração antes de sua morte.



Em 1858, ao preparar as notas de aula de uma disciplina de Cálculo, Dedekind interessou-se por uma questão que afligia os matemáticos há muito tempo: a necessidade de se estabelecer uma correspondência de finitiva entre os números e a reta, baseando completamente o conjunto dos números reais. Suas ideias foram publicadas em 1872 no trabalho Stetigkeit und Irrationale Zahen.


A ideia de Dedekind consistia em representar cada número real como uma divisão, um "corte" nos números racionais. Importante também foi seus trabalhos em Teoria dos Números e foi durante um período de férias na Suiça em 1874 que ele conheceu o grande matemático Georg Cantor e teria discutido teoria dos conjuntos. Outra contribuição importante na Matemática de Dedekind foi a sua edição de uma coletânea com os trabalhos de Gauss, Riemann e Dirichlet.


Referências Bibliográficas:
www.portalpositivo.com.br
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/07/richard-dedekind.html

GRANDES ECONOMISTAS - Adam Smith

A publicação do livro de Adam Smith, em 1776, "Investigação sobre a Natureza e Causas da Riqueza das Nações" é considerada a origem da Economia como ciência. Os clássicos escreveram numa época em que a indústria estava conhecendo um desenvolvimento sem precedentes. A preocupação principal de Smith era o crescimento econômico e seus temas relacionados, como a distribuição, o valor, o comércio internacional etc. Um de seus objetivos principais foi a denúncia das idéias mercantilistas, que restringiam a livre concorrência e que ainda eram muito propagadas em sua época. Para Adam Smith, o Estado devia abster-se de intervir na economia já que, se os homens atuassem livremente na busca de seu próprio interesse, haveria uma mão invisível que converteria seus esforços em benefícios para todos.

Smith nasceu em Kirkcaldy, Escócia. Seu pai, inspetor de alfândegas, morreu pouco antes de seu nascimento. Aos 14 anos ingressou na Universidade de Glasgow onde se converteu em discípulo do professor de filosofia moral F. Hutchison. Depois ingressou na Universidade de Oxford onde permaneceu seis anos. Em 1748 ocupou um posto de professor de literatura na Universidade de Edimburgo e em 1751 foi à Universidade de Glasgow onde substituiu a Hutchison na cátedra de filosofia Moral.

Adam Smith, inicialmente, estava interessado na ética. No seu livro "Teoria dos Sentimentos Morais" encontra-se a base de sua filosofia liberal e sua definição da ordem natural da sociedade.
Conseguiu o posto de preceptor do filho do duque de Buccleugh com quem iniciou, em 1763, uma viagem de mais de dois anos pelo continente europeu, o que lhe permitiu conhecer a F. Quesnay e R.J. Turgot.

Em 1768 conseguiu o emprego de Comissário de Alfândegas (como tinha sido seu pai) em Edimburgo, posto que ocupou o resto de seu vida e que não pareceu estar em contradição com seu espírito livre cambista. Foi precisamente nesta época, já afastado da vida acadêmica, que escreveu "A Riqueza das Nações".

Em sua obra se detecta a influência de seu amigo pessoal Hume e de R. Cantillon.

Obras:

Os Ensaios sobre temas filosóficos (1795)
A Riqueza das Nações
Teoria dos sentimentos morais

Fonte: http://www.corecon-rj.org.br/Grandes_Economistas_Resultado.asp?ID=148

GRANDES MATEMÁTICOS - George Cantor

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Nasceu em 03 de março de 1845 em St. Petersburg, Rússia.

Faleceu em 06 de janeiro de 1918 em Halle, Alemanha.

Cantor freqüentou a Universidade de Zurique transferindo-se para a Universidade de Berlim, em virtude da morte de seu pai. Teve aulas com Weierstrass, Kummer e Kronecker. Ele concluiu sua dissertação em teoria dos números (De aequationibus secondi gradus indeterminatis) em 1867. Enquanto esteve em Berlim ficou bastante envolvido com a Sociedade Matemática sendo seu presidente no período de 1864/65. Em 1868 transferiu-se para o Seminário Schellbach para professores de Matemática, trabalhando na sua preparação. Foi aceito para lecionar na universidade de Halle em 1869, onde apresentou sua tese, novamente na teoria dos números, recebendo sua habilitação como professor. Ele permaneceu em Halle até se aposentar em 1913.

Em Halle as pesquisas de Cantor mudaram de rumo. Ele deixou a teoria dos números voltando-se para a análise. Foi devido a Heine, um de seus colegas de Halle, que o desafiou a provar um problema até então aberto: o da "unicidade da representação de uma função como uma série trigonométrica". Era um problema difícil que tinha sido atacado por muitos matemáticos, incluindo o próprio Heine, Dirichlet, Lipschitz e Riemann. Cantor resolveu o problema mostrando a unicidade da representação em abril de 1870. Ele tinha publicada outros artigos entre 1870 e 1872 onde tratava com séries trigonométricas e todos eles mostravam a influência das aulas tidas com Weirstrass.

Em 1872 Cantor foi promovido a professor Extraordinário em Halle e neste ano tornou-se amigo de Dedekind que ele conheceu num feriado passado na Suíça. Cantor publicou um artigo sobre séries trigonométricas em 1872 na qual ele define um número irracional em termos de seqüências convergentes de números racionais. Por outro lado, neste mesmo ano, Dedekind publicou sua definição de números reais como "cortes de Dedekind" e no seu artigo ele faz referência ao artigo que tinha recebido de Cantor.

Em 1873 Cantor provou que o conjunto dos racionais é contável, isto é, que pode ser posto em correspondência um para um com os números naturais. Ele também mostrou que os números algébricos, números que são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros, também são contáveis. No entanto sua tentativa para provar que os reais eram contáveis se mostrou um pouco mais difícil. Ele provou que os números reais não eram contáveis em dezembro de 1873 e publicou isto num artigo de 1874. Neste artigo a idéia de uma correspondência um para um aparece pela primeira vez, mas somente implícita no trabalho.

Um número transcendente é um irracional que não é uma raiz de qualquer equação polinomial com coeficientes inteiros. Liouville estabeleceu em 1851 que os números transcendentes existem. Vinte anos depois Cantor mostrou que, num certo sentido, 'quase todos os números' são transcendentes, provando, então, que os números reais não são contáveis enquanto que já tinha provado que os números algébricos eram contáveis.

O ano de 1874 foi importante na vida pessoal de Cantor, pois ele tornou-se noivo de Wally Guttmann, uma amiga de seu irmão, tendo casado em 09 de agosto de 1874. Ele passou a lua de mel em Interlaken, Suíça, onde teve muitas discussões matemáticas com Dedekind

Cantor continuou a se corresponder com Dedekind, compartilhando suas idéias e ouvindo suas opiniões. Ele escreveu para Dedekind em 1877 provando que existia uma correspondência um-a-um entre os números do intervalo [0; 1] e os os pontos de um espaço p-dimensional. Cantor ficou surpreso com sua descoberta e escreveu:Eu vejo, mas não acredito (I see it, but I dont't believe it!). Este resultado teve implicações na Geometria e na noção de dimensão de um espaço.

Um artigo importante que Cantor enviou para o Crelle's Journal, em 1877 foi tratado com desconfiança por Kronecker e só foi publicado porque Dedekind interveio a favor de Cantor. A partir daí Cantor nunca mais enviou artigos para esta publicação, pois ficou muito ressentido com a oposição de Kronecker.

O artigo enviado por Cantor foi publicado pela revista em 1878 e tornou o conceito de correspondência um-a-um preciso. O artigo discute os conjuntos enumeráveis, isto é, aqueles que podem ser colocados em correspondência um para um com os números naturais. Ele estuda conjuntos de mesma potência, isto é, conjunto que podem ser postos em correspondência um para um entre si. Cantor também discutiu o conceito de dimensão e reforçou o fato de que sua correspondência entre o intervalo [0; 1] e o "quadrado da unidade" não é uma função contínua.

Entre 1879 e 1884 Cantor publicou uma série de seis artigos no Mathematische Annalen com o intuito de fornecer uma introdução básica a teoria dos conjuntos. Klein teve uma grande influência na publicação destes artigos, entretanto ocorreram vários problemas ao longo destes anos e que se mostraram difíceis para Cantor. Embora ele tenha sido promovido a "full professor" em 1879 pela recomendação de Heine, ele esperava por uma cadeira em uma universidade de maior prestígio. Sua longa correspondência com Schwarz terminou em 1880 com o crescimento da oposição as suas idéias e com Schwarz não concordando mais com a direção que o trabalho de Cantor estava tomando.

O trabalho de Cantor foi atacado por muitos matemáticos, sendo um dos mais destacados seu ex-professor Kronecker. Cantor nunca duvidou da verdade absoluta de seu trabalho apesar da descoberta de paradoxos na teoria dos conjuntos. Ele foi apoiado por Dedekind, Weirstrass, Hilbert e Russell.

Cantor se aposentou em 1913 e passou seus últimos anos doente e com pouca comida em virtude das condições de guerra na Alemanha. Um grande evento planejado, em Halle, para marcar seu septuagésimo aniversário em 1915 teve que ser cancelado em virtude da guerra, mas uma pequena comemoração foi realizada na sua casa. Em junho de 1917 ele entrou no sanatório pela última vez, escrevendo continuamente para sua mulher solicitando permissão para ir para casa, mas faleceu de ataque cardíaco sem ter seu desejo atendido.

Hilbert descreveu o trabalho de Cantor como:

"o melhor produto de um gênio matemático e um das realizações supremas da atividade humana puramente intelectual".

Fonte: http://www.pucrs.br/famat/statweb/historia/daestatistica/biografias/Cantor.htm

GRANDES MATEMÁTICOS - John Nash

John Nash nasceu no dia 13 de Junho de 1928 em Bluefield, West Virginia, nos Estados Unidos. O seu pai, também John, era engenheiro eléctrico e sua mãe, Virginia, era professora. Foi ela quam incentivou sua curiosidade intelectual, ajudando-o a obter uma boa formação académica.

Ainda criança, Nash já mostrava ser solitário e introvertido, preferindo os livros a brincar com com outras crianças. Na escola, os professores não reconheciam Nash como um prodígio. Consideravam-no como uma criança extremamente anti-social. Aos doze anos, cada vez mais isolado, Nash refugiava-se no seu quarto, dedicando-se a fazer experiências científicas com as quais aprendia mais do que na escola. Por volta dos 14 anos de idade surgiu o seu interesse pela matemática, quando leu a obra “Men of Mathematics” (1937), de T. Bell. Nessa época, conseguiu provar para si mesmo alguns resultados de Fermat.

Em 1941, ingressou na Universidade de Bluefield onde demonstrou e desenvolveu as suas capacidades matemáticas. Os colegas olhavam-no como um estranho, uma pessoa difícil de entender. Um episódio trágico veio agravar ainda mais o isolamento de Nash: numa explosão causada por uma experiência química levada a cabo por Nash e um colega seu foi mortalmente atingido.

Em Junho de 1945, Nash ingressou na prestigiosa Universidade de Carnegie Mellon onde lhe foi oferecida uma bolsa de estudos. Iniciou a sua carreira universitária estudando química e depois matemática. John Synge, responsável pelo departamento de matemática, reconhecendo no jovem um grande talento, incentivou-o a dedicar-se à matemática.

Em 1948, foi aceito no programa de doutoramento em matemática em duas das mais famosas universidades dos Estados Unidos: Harvard e Princeton. A sua escolha recaiu sobre Princeton. Aí demonstrou interesse por vários campos da matemática pura: Topologia, Geometria Álgebra, Teoria do Jogo e lógica. Mas, mesmo em Princeton, Nash evitava comparecer às palestras e aulas. Aprendia sozinho, sem a ajuda de professores ou mesmo de livros.

Ainda antes de acabar o curso provou o teorema do ponto fixo de Brouwer. Algum tempo depois resolveu um dos enigmas de Riemann que mas perplexidade causava. Em 1949, aos 21 anos, Nash, escreveu uma Tese de doutoramento que, 45 anos mais tarde, lhe daria o Prémio Nobel de Economia. O trabalho, conhecido como o "Equilibrio de Nash" (Non-cooperative games) irá revolucionar o estudo da estratégia econômica.

Em 1950, Nash começa a trabalhar para a RAND Corporation, instituição esta que canalizava fundos do governo dos Estados Unidos para estudos científicos relacionados com a guerra fria. Nash aplicou os seus recentes avanços na teoria dos jogos para analisar estratégias diplomáticas e militares. Simultaneamente continuava a dar aulas em Princeton.

Um ano depois, em 1951, Nashfoi convidado para professor de matemática do MIT onde trabalhou até 1959. No decorrer da sua estadia no MIT, os problemas psíquicos começaram a agravar-se. Apesar do seu frágil equilíbrio psíquico, em 1953, teve um filho com Eleanor Stier a quem foi dado o nome de John David Stier. No entanto, contra a vontade de Eleanor, Nash nunca se casou. No verão de 1954, Nash foi detido pela policia numa operação de perseguição a homossexuais. Como consequência foi expulso da RAND Corporation.

Em 1957, casou-se com Alicia, uma estudante de física do MIT. Um ano mais tarde, começa a sofrer de esquizofrenia. Alicia decide, algum tempo depois, divorciar-se continuando embora a ajudá-lo na luta contra a sua doença. Nash teve que desistir do posto de professor no MIT e foi hospitalizado contra a sua vontade. A situação era extremamente irregular. Nash recuperava temporariamente, mas logo depois voltava a sofrer distúrbios mentais. Nos breves intervalos da sua recuperação, produzia importantes trabalhos matemáticos. Em 1958 o seu estado mental agravou-se mas, em 1990, conseguiu recuperar da doença.

Em 1994 recebe, juntamente com John C. Harsanyi e Reinhard Selten, o Prémio Nobel da Economia pelo seu trabalho na Teoria dos Jogos (Theory of Non-cooperative Games).

Em 2001 teve sua vida relatada pelas telas de Hollywood no filme "Uma Mente Brilhante", onde o ator Russell Crowe interpretou John Nash. Russell Crowe concorreu ao Oscar de melhor ator por interpretá-lo.

John Nash sem dúdiva é um dos grandes matemáticos da história e um dos grandes matemáticos do século XX.

Fonte: http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1994/nash-autobio.html