GRANDES MATEMÁTICOS - George Cantor

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Nasceu em 03 de março de 1845 em St. Petersburg, Rússia.

Faleceu em 06 de janeiro de 1918 em Halle, Alemanha.

Cantor freqüentou a Universidade de Zurique transferindo-se para a Universidade de Berlim, em virtude da morte de seu pai. Teve aulas com Weierstrass, Kummer e Kronecker. Ele concluiu sua dissertação em teoria dos números (De aequationibus secondi gradus indeterminatis) em 1867. Enquanto esteve em Berlim ficou bastante envolvido com a Sociedade Matemática sendo seu presidente no período de 1864/65. Em 1868 transferiu-se para o Seminário Schellbach para professores de Matemática, trabalhando na sua preparação. Foi aceito para lecionar na universidade de Halle em 1869, onde apresentou sua tese, novamente na teoria dos números, recebendo sua habilitação como professor. Ele permaneceu em Halle até se aposentar em 1913.

Em Halle as pesquisas de Cantor mudaram de rumo. Ele deixou a teoria dos números voltando-se para a análise. Foi devido a Heine, um de seus colegas de Halle, que o desafiou a provar um problema até então aberto: o da "unicidade da representação de uma função como uma série trigonométrica". Era um problema difícil que tinha sido atacado por muitos matemáticos, incluindo o próprio Heine, Dirichlet, Lipschitz e Riemann. Cantor resolveu o problema mostrando a unicidade da representação em abril de 1870. Ele tinha publicada outros artigos entre 1870 e 1872 onde tratava com séries trigonométricas e todos eles mostravam a influência das aulas tidas com Weirstrass.

Em 1872 Cantor foi promovido a professor Extraordinário em Halle e neste ano tornou-se amigo de Dedekind que ele conheceu num feriado passado na Suíça. Cantor publicou um artigo sobre séries trigonométricas em 1872 na qual ele define um número irracional em termos de seqüências convergentes de números racionais. Por outro lado, neste mesmo ano, Dedekind publicou sua definição de números reais como "cortes de Dedekind" e no seu artigo ele faz referência ao artigo que tinha recebido de Cantor.

Em 1873 Cantor provou que o conjunto dos racionais é contável, isto é, que pode ser posto em correspondência um para um com os números naturais. Ele também mostrou que os números algébricos, números que são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros, também são contáveis. No entanto sua tentativa para provar que os reais eram contáveis se mostrou um pouco mais difícil. Ele provou que os números reais não eram contáveis em dezembro de 1873 e publicou isto num artigo de 1874. Neste artigo a idéia de uma correspondência um para um aparece pela primeira vez, mas somente implícita no trabalho.

Um número transcendente é um irracional que não é uma raiz de qualquer equação polinomial com coeficientes inteiros. Liouville estabeleceu em 1851 que os números transcendentes existem. Vinte anos depois Cantor mostrou que, num certo sentido, 'quase todos os números' são transcendentes, provando, então, que os números reais não são contáveis enquanto que já tinha provado que os números algébricos eram contáveis.

O ano de 1874 foi importante na vida pessoal de Cantor, pois ele tornou-se noivo de Wally Guttmann, uma amiga de seu irmão, tendo casado em 09 de agosto de 1874. Ele passou a lua de mel em Interlaken, Suíça, onde teve muitas discussões matemáticas com Dedekind

Cantor continuou a se corresponder com Dedekind, compartilhando suas idéias e ouvindo suas opiniões. Ele escreveu para Dedekind em 1877 provando que existia uma correspondência um-a-um entre os números do intervalo [0; 1] e os os pontos de um espaço p-dimensional. Cantor ficou surpreso com sua descoberta e escreveu:Eu vejo, mas não acredito (I see it, but I dont't believe it!). Este resultado teve implicações na Geometria e na noção de dimensão de um espaço.

Um artigo importante que Cantor enviou para o Crelle's Journal, em 1877 foi tratado com desconfiança por Kronecker e só foi publicado porque Dedekind interveio a favor de Cantor. A partir daí Cantor nunca mais enviou artigos para esta publicação, pois ficou muito ressentido com a oposição de Kronecker.

O artigo enviado por Cantor foi publicado pela revista em 1878 e tornou o conceito de correspondência um-a-um preciso. O artigo discute os conjuntos enumeráveis, isto é, aqueles que podem ser colocados em correspondência um para um com os números naturais. Ele estuda conjuntos de mesma potência, isto é, conjunto que podem ser postos em correspondência um para um entre si. Cantor também discutiu o conceito de dimensão e reforçou o fato de que sua correspondência entre o intervalo [0; 1] e o "quadrado da unidade" não é uma função contínua.

Entre 1879 e 1884 Cantor publicou uma série de seis artigos no Mathematische Annalen com o intuito de fornecer uma introdução básica a teoria dos conjuntos. Klein teve uma grande influência na publicação destes artigos, entretanto ocorreram vários problemas ao longo destes anos e que se mostraram difíceis para Cantor. Embora ele tenha sido promovido a "full professor" em 1879 pela recomendação de Heine, ele esperava por uma cadeira em uma universidade de maior prestígio. Sua longa correspondência com Schwarz terminou em 1880 com o crescimento da oposição as suas idéias e com Schwarz não concordando mais com a direção que o trabalho de Cantor estava tomando.

O trabalho de Cantor foi atacado por muitos matemáticos, sendo um dos mais destacados seu ex-professor Kronecker. Cantor nunca duvidou da verdade absoluta de seu trabalho apesar da descoberta de paradoxos na teoria dos conjuntos. Ele foi apoiado por Dedekind, Weirstrass, Hilbert e Russell.

Cantor se aposentou em 1913 e passou seus últimos anos doente e com pouca comida em virtude das condições de guerra na Alemanha. Um grande evento planejado, em Halle, para marcar seu septuagésimo aniversário em 1915 teve que ser cancelado em virtude da guerra, mas uma pequena comemoração foi realizada na sua casa. Em junho de 1917 ele entrou no sanatório pela última vez, escrevendo continuamente para sua mulher solicitando permissão para ir para casa, mas faleceu de ataque cardíaco sem ter seu desejo atendido.

Hilbert descreveu o trabalho de Cantor como:

"o melhor produto de um gênio matemático e um das realizações supremas da atividade humana puramente intelectual".

Fonte: http://www.pucrs.br/famat/statweb/historia/daestatistica/biografias/Cantor.htm

GRANDES MATEMÁTICOS - John Nash

John Nash nasceu no dia 13 de Junho de 1928 em Bluefield, West Virginia, nos Estados Unidos. O seu pai, também John, era engenheiro eléctrico e sua mãe, Virginia, era professora. Foi ela quam incentivou sua curiosidade intelectual, ajudando-o a obter uma boa formação académica.

Ainda criança, Nash já mostrava ser solitário e introvertido, preferindo os livros a brincar com com outras crianças. Na escola, os professores não reconheciam Nash como um prodígio. Consideravam-no como uma criança extremamente anti-social. Aos doze anos, cada vez mais isolado, Nash refugiava-se no seu quarto, dedicando-se a fazer experiências científicas com as quais aprendia mais do que na escola. Por volta dos 14 anos de idade surgiu o seu interesse pela matemática, quando leu a obra “Men of Mathematics” (1937), de T. Bell. Nessa época, conseguiu provar para si mesmo alguns resultados de Fermat.

Em 1941, ingressou na Universidade de Bluefield onde demonstrou e desenvolveu as suas capacidades matemáticas. Os colegas olhavam-no como um estranho, uma pessoa difícil de entender. Um episódio trágico veio agravar ainda mais o isolamento de Nash: numa explosão causada por uma experiência química levada a cabo por Nash e um colega seu foi mortalmente atingido.

Em Junho de 1945, Nash ingressou na prestigiosa Universidade de Carnegie Mellon onde lhe foi oferecida uma bolsa de estudos. Iniciou a sua carreira universitária estudando química e depois matemática. John Synge, responsável pelo departamento de matemática, reconhecendo no jovem um grande talento, incentivou-o a dedicar-se à matemática.

Em 1948, foi aceito no programa de doutoramento em matemática em duas das mais famosas universidades dos Estados Unidos: Harvard e Princeton. A sua escolha recaiu sobre Princeton. Aí demonstrou interesse por vários campos da matemática pura: Topologia, Geometria Álgebra, Teoria do Jogo e lógica. Mas, mesmo em Princeton, Nash evitava comparecer às palestras e aulas. Aprendia sozinho, sem a ajuda de professores ou mesmo de livros.

Ainda antes de acabar o curso provou o teorema do ponto fixo de Brouwer. Algum tempo depois resolveu um dos enigmas de Riemann que mas perplexidade causava. Em 1949, aos 21 anos, Nash, escreveu uma Tese de doutoramento que, 45 anos mais tarde, lhe daria o Prémio Nobel de Economia. O trabalho, conhecido como o "Equilibrio de Nash" (Non-cooperative games) irá revolucionar o estudo da estratégia econômica.

Em 1950, Nash começa a trabalhar para a RAND Corporation, instituição esta que canalizava fundos do governo dos Estados Unidos para estudos científicos relacionados com a guerra fria. Nash aplicou os seus recentes avanços na teoria dos jogos para analisar estratégias diplomáticas e militares. Simultaneamente continuava a dar aulas em Princeton.

Um ano depois, em 1951, Nashfoi convidado para professor de matemática do MIT onde trabalhou até 1959. No decorrer da sua estadia no MIT, os problemas psíquicos começaram a agravar-se. Apesar do seu frágil equilíbrio psíquico, em 1953, teve um filho com Eleanor Stier a quem foi dado o nome de John David Stier. No entanto, contra a vontade de Eleanor, Nash nunca se casou. No verão de 1954, Nash foi detido pela policia numa operação de perseguição a homossexuais. Como consequência foi expulso da RAND Corporation.

Em 1957, casou-se com Alicia, uma estudante de física do MIT. Um ano mais tarde, começa a sofrer de esquizofrenia. Alicia decide, algum tempo depois, divorciar-se continuando embora a ajudá-lo na luta contra a sua doença. Nash teve que desistir do posto de professor no MIT e foi hospitalizado contra a sua vontade. A situação era extremamente irregular. Nash recuperava temporariamente, mas logo depois voltava a sofrer distúrbios mentais. Nos breves intervalos da sua recuperação, produzia importantes trabalhos matemáticos. Em 1958 o seu estado mental agravou-se mas, em 1990, conseguiu recuperar da doença.

Em 1994 recebe, juntamente com John C. Harsanyi e Reinhard Selten, o Prémio Nobel da Economia pelo seu trabalho na Teoria dos Jogos (Theory of Non-cooperative Games).

Em 2001 teve sua vida relatada pelas telas de Hollywood no filme "Uma Mente Brilhante", onde o ator Russell Crowe interpretou John Nash. Russell Crowe concorreu ao Oscar de melhor ator por interpretá-lo.

John Nash sem dúdiva é um dos grandes matemáticos da história e um dos grandes matemáticos do século XX.

Fonte: http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1994/nash-autobio.html

A ORIGEM DOS NÚMEROS

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.

Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.

Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.

O Início do processo de contagem

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.

A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.


Representação numérica

Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.

"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.

Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades. Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidades.

Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho.


Alguns símbolos antigos

No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:

Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.

Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.


O ábaco

O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas.

No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.

O Sistema de numeração Indo-Arábico

Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.

O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.

Notas históricas sobre a atual notação posicional

Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).

Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente.

Por muito tempo, estes algarismos foram denominados algarismos arábicos, de uma forma errada.

Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos.

Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.

Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual.

Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante.

Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.

Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades científicas e religiosas.

Notação Posicional

O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos sistemas dos egípcios e chineses.

No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no século I não existia a necessidade do número zero.

Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral.

Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor do número.

O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.

Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.

Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.

A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.

Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.

Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.

Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

Como apresentar um trabalho acadêmico

Para a elaboração de um bom trabalho acadêmico, você pode seguir os seguintes passos:

Formatação

Margem superior: 3,0
Margem inferior: 3,0
Margem direita: 3,0
Margem esquerda: 3,0
Papel: A4
Fonte:Arial ou Times New Roman – tamanho 12
Espaçamento: 1,5 ou Duplo

Composição:

Capa
Folha de Rosto
Dedicatória
Sumário
Corpo
Conclusão
Referências Bibliográficas

Lembre-se que a formatação de um trabalho pode variar de professor para professor e assim, você pode adaptar as dicas dadas por este blog, como referência para uma montagem mais específica, de acordo com a exigência do seu professor.

Bom trabalho e lembre-se que o conhecimento não ocupa espaço.