quarta-feira, 16 de dezembro de 2015

GRANDES MATEMÁTICOS - Henri Poincaré

Henri Poincaré deu muitas contribuições para as áreas de Física, Matemática e Filosofia da Ciência.

Nascido em 29 de abril de 1854, em Paris, na França, Jules Henri Poincaré foi matemático, físico e filósofo da ciência.

Ingressou na Escola Politécnica em 1873, continuou seus estudos na Escola de Minas sob a tutela de Charles Hermite, e se doutorou em matemática em 1879. Foi nomeado professor de física matemática na Sorbonne (1881), posto que manteve até sua morte.

 Antes de chegar aos trinta anos desenvolveu o conceito de funções automórficas, que usou para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes algébricos. Em 1895 publicou seu Analysis situs, um tratado sistemático sobre topologia. 

No âmbito das matemáticas aplicadas estudou numerosos problemas sobre óptica, eletricidade, telegrafia, capilaridade, elasticidade, termodinâmica, mecânica quântica, teoria da relatividade e cosmologia.

 É frequentemente descrito como o último universalista em Matemática. Ele fez contribuições para diversos ramos da Matemática, Mecânica Celeste, Mecânica dos Fluidos, a Teoria Especial da Relatividade e da Filosofia da Ciência. 
Grande parte de sua pesquisa envolveu interações entre diferentes temas matemáticos e sua ampla compreensão de todo o espectro de conhecimento lhe permitiu atacar os problemas de muitos ângulos diferentes.

 Antes dos 30 anos, ele desenvolveu o conceito de funções automórficas que são funções de uma variável complexa invariante sob um grupo de transformações caracterizado algebricamente por razões de termos lineares. A ideia era vir de forma indireta a partir do trabalho de sua tese de doutorado sobre equações diferenciais. Seus resultados aplicava apenas às classes restritas de funções e Poincaré queria generalizar estes resultados, mas como um caminho para isso, ele olhou para uma série de funções de classe, onde não existem soluções. Isso o levou para as funções que ele nomeou de funções automórfica. A ideia fundamental veio a ele como ele estava prestes a entrar em um ônibus.

 Em Matemática Aplicada ele estudou Óptica, Eletricidade, Telegrafia, Capilaridade, Elasticidade, Termodinâmica, Teoria Potencial, Teoria quântica, Teoria da Relatividade e Cosmologia. 

 No campo da Mecânica Celeste, ele estudou as teorias da luz e das ondas eletromagnéticas. Ele é reconhecido como um co-descobridor, com Albert Einstein e Hendrik Lorentz, da teoria da relatividade especial.

 Poincaré acreditava que se podia escolher entre a geometria euclidiana e não-euclidiana como a geometria do espaço físico. Ele acreditava que, porque as duas geometrias foram topologicamente equivalente, em seguida, pode-se traduzir as propriedades de um para o outro, por isso não está correto ou falso. Por esta razão, argumentou que a geometria euclidiana seria sempre preferível pelos físicos. Isto, no entanto, não provou ser correta e a evidência experimental hoje mostra claramente que não é o espaço físico euclidiano.

 Poincaré fez muitas contribuições em diferentes campos tais como: mecânica celestial, mecânica dos fluidos, óptica, eletricidade, telégrafo, capilaridade, elasticidade, termodinâmica, teoria do potencial, mecânica quântica, teoria da relatividade e cosmologia.

 Ele também trabalhou para a popularização da matemática e da física e escreveu vários trabalhos para público leigo.
Entre tópicos específicos que ele contribuiu podem ser enumerados
  • Em um trabalho de 1894, ele enunciou o conceito de grupo fundamental. 
  • No campo da equação diferencial Poincaré obteve muitos resultados que são críticos para a teoria qualitativa das equações diferenciais, por exemplo a Esfera de Poincaré e o mapa de Poincaré.


domingo, 29 de junho de 2014

Grandes Matemáticos - LEONHARD EULLER


Leonhard Euller, matemático e físico que nasceu em uma cidade suÍça chamada Basileia, em 15 de abril de 1707 – São Petersburgo em 1783. Leonardo Euler, o maior matemático de todos os tempos, filho de Paul Euler e Margaret Brucker, teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena, uma família tradicionalmente dedicada a pesquisas científicas.

Ao completar um ano de idade seus pais mudaram-se para Riehen, perto de Basileia, cidade na qual passou maior parte da sua infância.

O fascínio pela matemática foi desenvolvido desde cedo por meio das aulas que seu pai lhe dava. Ao completar idade de ir para a escola foi levado para Basileia para ficar com a sua avó. Na escola pouco aprendeu sobre Matemática. Portanto, o fascínio não aconteceu na escola, o gosto que tinha ganho pela disciplina levou-o a estudar sozinho diversos livros de Matemática e a ter lições às escondidas.

Paul Euler, seu pai, que almejava a carreira de teólogo para o seu filho, colocou o jovem Leonhard na Universidade de Basileia para que pudesse seguir estudos de Teologia. Leonhard ingressou para a universidade em 1720, com 14 anos, para, primeiro, adquirir instruções geral e só após obter estudos mais avançados.

Em 1723 recebeu o grau de Mestre em Filosofia. E neste mesmo ano dá início ao curso de Teologia, satisfazendo assim os desejos de seu pai. Porém, embora tendo sido um cristão devoto, nunca sentiu a mesma admiração pela Teologia como sentia pela Matemática.

Neste sentido, ajudado por Jean Bernoulli, convenceu o seu pai a deixá-lo mudar para o curso de Matemática. Dessa, Euler recebeu uma instrução bastante sólida pois, estudou, além de Matemática, Medicina, Astronomia, Física e Línguas Orientais.

Em 1726 terminou os estudos na Universidade de Basileia. No ano seguinte foi indicado para o Grande Prêmio da Academia de Paris com uma produção sobre mastros de navios. Não garantiu o primeiro lugar, ficando com o segundo, posição esta que constituiu ao jovem matemático, um grande incentivo.

Em 1735, por meio da resolução de um problema chamado “problema da Basileia”, Euler recebe fama mundial. Trata-se de somar a série infinita dos inversos dos quadrados. Johann Bernoulli tinha lutado com este problema durante décadas, tendo desafiado matemáticos de todo o mundo. Euler desenvolve assim um novo método analítico para lidar com o problema. Mas o seu método permite também somar todas as séries infinitas do mesmo tipo em que o expoente é um número par.

Neste mesmo ano, Leonardo perdeu a visão de um olho, tendo como conseqüência um problema neurológico

A precocidade e o vivacidade de seus primeiros trabalhos despertaram o interesse dos principais matemáticos de sua época, como Jean Bernouilli e seus filhos, e converteram-no, aos vinte anos, em membro associado da Academia de Ciências de São Petersburgo, para onde se transferira. Por meio de livros e monografias que apresentou à Academia, Euler aprimorou os conhecimentos da época sobre cálculo integral, desenvolveu a teoria das funções trigonométrica e logarítmica e simplificou as operações relacionadas à análise matemática. Sua contribuição para a geometria analítica e para a trigonometria é comparável à de Euclides para a geometria plana. A tendência a expressar operações físicas e matemáticas em termos aritméticos incorporou-se desde então aos procedimentos das ciências exatas.

Assim, durante os anos seguintes, Euler consegue transformar a Matemática e a Física. Em seis anos produz trabalhos fundamentais em teoria dos números, séries, cálculo de variações, mecânica, entre muitos outros.

Após ganhar, por duas vezes, o Grande Prêmio da Academia de Paris, Euler recebeu o convite de Frederico, o Grande para fazer parte da Academia de Ciências da Prússia, sediada em Berlim. Recusou o convite de início mas, como a vida na Rússia para os estrangeiros não era fácil, Euler reconsiderou o pedido.

Partiu de S. Petersburgo dia 19 de Junho de 1741 e viveu 25 anos em Berlim, onde escreveu mais de 380 artigos.

A contribuição de Euler para a ciência matemática foi publicada em Berlim e teve como um de seus pilares a Introductio in analysim infinitorum (1748); Introdução à análise dos infinitos), obra que constitui um dos fundamentos da matemática moderna.

Uma outra obra de suas maiores contribuições foi ao nível das *notações*: * (...) numa exposição manuscrita dos seus resultados, escrita provavelmente em 1727 ou 1728, Euler usou a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a base do sistema de logaritmos naturais.

A Euler também se atribui o uso definitivo da letra grega p como notação para a razão da circunferência e para o diâmetro do círculo. Não foi o primeiro matemático a utilizá-la, pois há registo de uma outra ocorrência em 1706, mas foi o primeiro a reconhecer a sua importância e utilidade. A adaptação do símbolo p por Euler em 1737, e mais tarde em seus muitos e populares livros de texto, que o tornou largamente conhecido e usado (Boyer, 1974, p. 326) A introdução do símbolo i para Ö (-1) foi mais uma notação adotada em 1777, quase no fim da sua vida.

Euler como qualquer ser humano, tinha caído em desgraça junto de Frederico II, que lhe chamava “ciclope”, referência esta devido ao seu defeito físico. Desde 1735, Euler sofria de alguns problemas de saúde, como febres altas. Em 1738, veio a perdeu a visão do olho direito, devido ao excesso de trabalho. Mas tal infelicidade não diminuiu em nada a sua produção Matemática.

Euler produzir trabalhos de diferentes gêneros, como por exemplo, material para livros-textos para as escolas russas. Geralmente escrevia em latim, mas também em francês, embora a sua língua de origem fosse o alemão. Tinha uma enorme facilidade para línguas, como bom suíço que era, o que lhe facilitava muito a vida nas diversas viagens que fazia, como era costume dos matemáticos do século XVIII.

Em 1749, depois de 7 anos de trabalho e quase cem anos após a morte de Fermat, conseguiu provar a teoria de Fermat.

Em 1771, perdeu todos os seus manuscritos matemáticos, considerados seus verdadeiros bens, num incêndio na sua casa. No mesmo ano é operado às cataratas, o que lhe devolve a visão durante um breve período de tempo. Mas, por Euler não terá tomado os cuidados médicos necessários ficou completamente cego.

Euller considerado um ser de auto-superarão, pois apesar dele ter tido uma doença visual, na qual veio a ficar cego nos seus últimos quatorze anos, de forma impressionante, continuou com seus projetos científicos, que contou com além da sua fabulosa memória, com a ajuda de várias pessoas, entre elas, filhos Albrecht Euler ajudou-o na publicação de um trabalho com 775 páginas sobre o movimento da Lua, em 1772 e Fuss ajudou-o a preparar mais de 250 artigos, durante 7 anos, tornando-se mais tarde seu assistente.

Conseguiu produzir um número tão grande de artigos matemáticos, após a cegueira, que a Universidade onde trabalhava ficou quase 50 anos para publicar todo o material deixado por ele. Quando ele viu que estava ticando completamente cego

Portanto, a sua cegueira não foi problema para as suas pesquisas e publicações que continuaram até 1783, quando, aos 76 anos faleceu subitamente enquanto tomava chá com um dos seus netos.

Euler, é considerado o matemático mais produtivo na história da Matemática. Seu legado é de um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).

Suas produções foram tantas que durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida. Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.

Na matemática Euler apareça associado avarias invenções, teoremas e fórmulas. Como Por exemplo.

1) Fórmula de Euler do poliedro

2) Problema das sete pontes de Konigsberg

3) A “outra” formula de Euler

4) Equação de Euler-Lagrange

5) Equações de Euler da dinâmica dos fluidos

6) Densidade dos números primos

7) Função totiente de Euler

8) Integrais de Euler: Funções gama e beta

9) Equações de Euler da dinâmica dos corpos rígidos

10) Problema da Basiléia

11) Funções geratrizes e números de partição

12) Problema de 3 corpos de Euler

13) Ângulos de Euler

14) Constante de Euler-Mascheroni

15) Quadrados de Euler

16) A Formula de Euler

17) O Número Phi

Fontes: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/modulos/history/euler/euler.html
            http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
            http://www.somatematica.com.br/biograf/euler.php
            http://www.mirror.co.uk/news/uk-news/leonhard-euler-mathematicians-306th-birthday-1833422

domingo, 23 de março de 2014

O pi não é mais o tal? Seria o tau o tal?

O pi não é mais o tal

Um grupo de matemáticos propõe eliminar o célebre número pi e substituí-lo pelo obscuro tau
Peter Moon

EURECA!
O matemático e filósofo grego Arquimedes foi o primeiro a calcular com exatidão o valor do pi = 3,1416...
Hoje em dia há datas para celebrar quase qualquer coisa. Nos Estados Unidos, 6 de junho é o dia nacional do ioiô e 7 de junho o dia do sorvete de chocolate. Em São Paulo, 24 de abril é o dia do samurai. Agora é a vez do tau. Um grupo de matemáticos de diversos países quer instituir a data de 28 de junho como o dia internacional do tau. O que vem a ser esse tal do tau? Tau (t) é a letra grega que na matemática simboliza um número de valor igual a 6,2831... ou simplesmente 6,28. Daí a inspiração para a escolha do dia 28 de junho. Tau é o dobro do célebre pi (p) ou 3,1416..., aquele mesmo que se aprende na escola na hora de calcular a circunferência e a área de um círculo. (Leia o quadro abaixo.)
O físico americano Michael Hartl, que já pesquisou na Universidade Harvard e no Instituto de Tecnologia da Califórnia, lançou um manifesto conclamando a comunidade matemática do mundo a abraçar o tau e derrubar o pi. Para Hartl, o tau é um dos números mais importantes da matemática. No manifesto, Hartl explica as razões pelas quais o pi deveria ser substituído por tau. É evidente que tais razões são tão incompreensíveis quanto irrelevantes para quase todos nós.
O dia do tau já é celebrado informalmente por um grupo crescente de matemáticos desde 2001. A tradição surgiu quando o matemático americano Bob Palais, da Universidade de Utah, publicou o trabalho intitulado “O pi está errado”. Obcecado com a beleza da precisão das notações matemáticas, Palais afirma que o uso do pi nos cálculos do círculo é impreciso. Substituir pi por tau eliminaria tal imprecisão. Para Palais, pouco importa que o pi esteja em uso desde o tempo dos cálculos para a construção da Grande Pirâmide de Queóps, há 4.500 anos. Também é irrelevante o argumento de que o valor do pi tenha sido calculado com precisão pela primeira vez pelo filósofo grego Arquimedes de Siracusa, um dos maiores matemáticos da história. Ele viveu na Sicília dois séculos antes de Cristo.
O matemático inglês Kevin Houston, da Universidade de Leeds, diz que o manifesto “é uma das coisas mais esquisitas” que já viu. Mas o apoia. “É surpreendente que ninguém tenha pensado nisso antes. Quando se compara o uso do pi ao do tau, o tau vence.” Por enquanto, é claro, os matemáticos continuam andando em círculos.



Fonte: http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/0,,EMI245625-15224,00-O+PI+NAO+E+MAIS+O+TAL.html

sexta-feira, 21 de junho de 2013

Dica de Leitura: O Teorema do Papagaio

Autor:Denis Guedj
Editora: Cia das Letras

"Um filósofo numa cadeira de rodas; um menino surdo; um casal de gêmeos adolescentes; um papagaio que sofre de amnésia. Esse grupo inusitado de repente se defronta com uma situação ainda mais estranha quando a remessa de uma fabulosa biblioteca de livros raros de matemática chega até sua casa, em Paris, enviada da longínqua Manaus. À medida que lêem as obras, ficam cada vez mais curiosos a respeito da incrível série de aparentes coincidências entre suas vidas e a daqueles que estudam. Em meio a uma rede de intrigas envolvendo a máfia, seqüestros e enigmas intelectuais, O Teorema do papagaio cativa o leitor ao lançar-lhe um desafio, que será compartilhado por cada um dos personagens: compreender e organizar a história do pensamento matemático desde a antigüidade até nossos dias. Tales, Pitágoras, Omar Khayyam, Tartaglia, Euler e Fermat são alguns dos filósofos a ter sua vida e obra narradas neste romance feito de números, equações, figuras geométricas e muito suspense."

quinta-feira, 7 de julho de 2011

Números Amigos?!?!?!?!



A Matemática é pautada por uma série de termos que, geralmente causam estranheza a aqueles que estão tomando contatos iniciais com esse mundo. Por vezes tais estranhezas causam até certa diversão ou mesmo certo espanto.

Veja o exemplo de Números Primos. Quando falamos de Primos ou Primos entre si, vem a nossa memória a idéia de parentesco entre os números dados.

Por definição, números primos são números naturais maiores que 1 e que são divididos somente pelos números 1 e por ele mesmo.

E o que dizer sobre os números amigos ou números amigáveis?

Quando usamos os termos amigos ou amigáveis, instintivamente pensamos em números que vão juntos ao cinema, curtem as mesmas coisas, compartilham seus segredos ou que tem uma relação de amizade.

Claro que nem tudo que define uma amizade entre duas pessoas se aplica aos números, mas algumas definições sobre as amizades podem ser verdadeiras entre os números amigos.

Temos então a definição de números amigos, pares de números que são chamados de amigos se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro.

Tomemos como exemplo os números 220 e 284, onde perceberemos então que:

Divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110
Somando os divisores: 1 + 2 + 4 + 5 + 1 0 + 11+ 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Divisores de 284: 1, 2, 4, 71, 142
Somando os divisores: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Então os números 220 e 284 são números amigos.
Por enquanto não existe uma fórmula matemática ou método conhecido no intuito de listar todos os pares de números amigáveis, o que se sabe é que a descoberta deste par de números é atribuída à Pitágoras (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-pitagoras-de-samos.html).

Houve uma aura mística em torno deste par de números, e estes representaram papel importante na magia, feitiçaria, na astrologia e na determinação de horóscopos.

Outros números amigos foram descobertos com o passar do tempo. Pierre Fermat (http://professorjairojr.blogspot.com/2010/10/grandes-matematicos-pierre-fermat.html) anunciou em 1636 um novo par de números amigos formando por 17296 e 18416, mas na verdade tratou-se de uma redescoberta, pois, o árabe al-Banna (1256 - 1321) já havia encontrado este par de números no fim do século XIII.

Leonhard Euler, matemático suíço, estudou sistematicamente os números amigos e descobriu em 1747 uma lista de trinta pares, e ampliada por ele mais tarde para mais de sessenta pares. Todos os números amigos inferiores a um bilhão já foram encontrados.


Referências:
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-amigaveis.htm

quarta-feira, 6 de julho de 2011

Brinquedo de Gênio - O Quebra-Cabeça de Arquimedes



Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da física, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-arquimedes-de.html) agora é apontado também como o possível inventor de um dos passatempos mais antigos do mundo.


De todos os seus feitos, o que levou mais fama foi a descoberta do empuxo. Conta-se que, enquanto tomava banho de banheira, o grego se deu conta de que o volume de seu corpo imerso deslocava para cima um volume de água de igual valor. Além disso, seu corpo imerso sofria a ação de uma força vertical, para cima - o empuxo -, de valor exatamente igual ao peso da água que era deslocada pelo seu corpo. Entusiasmado com a descoberta o gênio teria saído nu às ruas gritando "Eureca!" (descobri, em grego).



Arquimedes também deixou para a humanidade os benefícios do parafuso, das roldanas, das alavancas e invenções de ataque e defesa militares, como a catapulta. Como matemático, o grego é famoso pelos seus trabalhos e descobertas na geometria, como o cálculo do número "pi" e a medição de áreas de figuras geométricas.


Só que agora, investigando velhos pergaminhos e manuscritos, o historiador de matemática Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia, afirma que Arquimedes foi também pioneiro em análise combinatória, área que só ganhou mais incentivo e aplicação com os computadores, no século 20. Os matemáticos desse ramo procuram determinar de quantas maneiras um problema pode ser resolvido. E esses estudos podem ser aplicados na busca do melhor jeito de se realizar uma tarefa. Fazemos algo parecido, por exemplo, quando temos convidados para jantar e queremos saber de quantas formas eles podem ser distribuídos à mesa, e qual a melhor distribuição de pessoas nas cadeiras (quem ao lado de quem).

Os pergaminhos, depois de passar pelas mãos de vários povos da Idade Média, desaparecer várias vezes, ir parar em mosteiros em que monges os utilizaram para escrever orações, sumir de novo e sofrer a ação de mofos, foram reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador para separar o que seria original (transcrição do trabalho de Arquimedes) de ruídos (orações escritas, mofos etc.), a equipe liderada por Netz chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho inédito sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.

O trabalho descreve um quebra-cabeça que consiste em um quadrado fracionado em 14 partes. O objetivo do jogo é, depois de embaralhados, juntar esses 14 pedaços para formar novamente o quadrado ou ainda outras figuras conhecidas. O stomachion é parecido com o Tangram, mais difundido hoje, o desafio chinês de 7 peças.

Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter perdido seu tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses para crianças. Mas analisando os manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado. Hoje, essa é uma questão para os especialistas em análise combinatória responderem. E eles podem recorrer à ajuda de computadores. Netz propôs o problema para matemáticos atuais da área de combinatória e eles, depois de seis semanas, concluíram que a resposta é 17.152.



Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. E isso há 2.200 anos, enquanto descobria leis da natureza, relações geométricas e inventava máquinas. Ele só não se preocupou em proteger sua própria vida. Conta-se que, absorto em seus estudos, foi morto por um soldado romano durante a invasão de sua cidade, enquanto estudava e escrevia equações matemáticas nas areias da praia de Siracusa, na atual Sicília. Arquimedes teria se recusado a parar de estudar durante o cerco.

Fonte: KAWANO, Carmen. O quebra-cabeça de Arquimedes: pergaminhos revelam trabalho inédito do grego em Análise Combinatória. Revista Galileu, nº 151, Rio de Janeiro. Editora Globo. 2004. Disponível em http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT669583-2680,00.html

terça-feira, 5 de julho de 2011

Obras Fundamentais na História da Álgebra


Comumente respondo perguntas de meus alunos sobre quem inventou a matemática, ou quem inventou a Álgebra, e correntemente digo que tanto a matemática como a álgebra não são obras de um único homem, ou de um único pensador. Tanto uma como a outra como a conhecemos hoje são as compilações de diversos pensadores onde os pensamentos e métodos se complementaram e se aperfeiçoaram no decorrer dos séculos.
Abaixo segue uma lista das principais obras, ou como o próprio nome diz, uma lista das Obras Fundamentais na História da Álgebra:

Por volta do ano 300 a. C. o matemático grego Euclides (325-265 a. C.) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos.html) escreveu a obra intitulada Elementos, constituída por treze livros.
Ele desenvolveu uma técnica denominada Álgebra geométrica, em que representava as expressões algébricas por meio da descrição de segmentos, áreas e volumes em Geometria.
Outra obra importante é a Aritmética, de Diofante (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/diofante-de-alexandria.html). Esse matemático viveu por volta do século III d. C., em Alexandria, e acredita-se ter sido o primeiro a usar algumas palavras abreviadas em textos matemáticos, o que seria o início da linguagem (notação) algébrica.
No século IX d. C., o matemático Al-Khowarizmi (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-al-khwarizmi.html) escreveu o livro Al-Jabr-Wa al-Muqabalah, cujo título possivelmente deu origem ao termo álgebra.
O francês François Viète (1540-1603) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/06/francois-viete.html) introduziu, no fim do século XVI, a primeira notação algébrica sistemática em seu livro In artem analyticam isagoge (Introdução à arte analítica), publicado na cidade francesa de Tours em 1591.
Mais tarde, diversos matemáticos, tais como René Descartes (1596-1650)  (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/07/rene-descartes.html), trataram problemas de natureza algébrica por meio da nova notação. Entre as obras de Descartes, destaca-se o Discours de la méthode (Discurso sobre o método), de 1637.

Claro que, ao observar os livros e os pensadores envolvidos neste ensaio, não podemos dizer que a Álgebra ou a própria Matemática como a conhecemos hoje tem somente estes responsáveis, no estudo aprofundado, mesmo deste blog, ou de algumas áreas mais diversificadas do conteúdo matemático, notaremos a contribuição de diversos ícones do pensamento humano e mesmo diversos filósofos, médicos, advogados e tantos outros pensadores que contribuíram para a "Rainha das Ciências" e para o seu desenvolvimento.


Fonte: BARROSO, Juliane  Matsubara. Matemática - Problemas, exercícios etc - Projeto Araribá: matemática. Editora Moderna, São Paulo, 2006.

domingo, 13 de março de 2011

A Geometria dos Fractais


Em seu livro de 1983, intitulado "The Fractal Geometry of Nature" (A Geometria Fractal da Natureza)Benoît Mandelbrot, diz:

"Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos,
o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta."

A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana.

Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros. Porém, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia e matemática. O termo "fractal" foi criado em 1975 pelo pesquisador Benoît Mandelbrot, o "pai dos fractais".

Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa "irregular" ou "quebrado".

Uma primeira definição matemática, pelo próprio Mandelbrot, diz: - "Um conjunto é dito Fractal se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão topológica". No decorrer do tempo ficou claro que esta definição era muito restritiva embora tenha motivações pertinentes.

Uma definição mais simples é esta: "Fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita."

Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual. Contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria:

Complexidade Infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.


Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.






A imagem anterior ("A Curva de Koch") é um exemplo geométrico da construção de um fractal. Um mesmo procedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa. Cada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original. Assim, usando um novo conceito de dimensão, os matemáticos calcularam a dimensão fractal deste objeto como sendo:

D = log(n.cópias)/log(escala) = log(4)/log(3) = 1,26185.

A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos sangüíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dos fractais.

O estudo dos fractais está ligado à teoria do caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório. Na mitologia grega, Caos era o estado não-organizado, ou o Nada, de onde todas as coisas surgiam. Mas não era apenas o mero vácuo e sim o estado de escuridão e nebulosidade infinita. A cosmogonia de Orphic afirma que Chronos (personificação do tempo) deu origem a Ether e a Caos sendo que este formou um enorme ovo de onde nasceu o Paraíso, a Terra e Eros. De acordo com a Teogonia de Hesiold, o Caos precedeu a origem não só do mundo mas também dos deuses...

Hoje em dia - com o desenvolvimento da matemática e ciência - a Teoria do Caos surgiu para compreender as flutuações erráticas e irregulares da natureza, resíduos da formação primordial vinda do grande ovo de Caos. Sistemas de comportamento caótico são encontrados em muitos campos da ciência e engenharia e são estudados, pois muitas vezes são achados padrões que mostram uma estrutura ordenada no sistema.

Uma característica de um sistema caótico é que ele sempre mostra "sensibilidade às condições iniciais", isto é, qualquer perturbação no estado inicial do sistema, não importando quão pequena seja, levará rapidamente a uma grande diferença no estado final, fazendo com que a previsão do futuro torne-se muito difícil. Porém, compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.

Apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os fractais ainda têm um longo caminho pela frente. Faltam muitas ferramentas e vários problemas continuam sem solução. Uma teoria completa e unificada é necessária e a pesquisa prossegue neste sentido.

"O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem, e ele contém o universo infinito."
(Frances A. Yates)





A imagem acima é um fractal gerado pela Textura de Perlin, que representa a complexidade de diversos tipos de texturas encontradas normalmente na natureza (ex: em pedras, madeira, fogo, fumaça, água, núvens, pele, etc.). São equações matemáticas que geram um tipo especial de "ruído semi-aleatório" que é convertido na forma imagens. Muitos filmes utilizam texturas deste tipo, geradas com computaçào gráfica.

Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milênios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.

Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram na terra - existe uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa geometria toda certinha. É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias - como a dimensão 0,5, por exemplo, típica de um objeto que é mais do que um simples ponto com dimensão zero, porém menos do que uma linha com dimensão 1.Só a chamada geometria dos fractais consegue descrevê-lo.

Essa nova área das ciências matemáticas vem tendo uma enorme aplicação. Para os biólogos, ajuda a compreender o crescimento das plantas. Para os físicos, possibilita o estudo de superfícies intrin-cadas. Para os médicos, dá uma nova visão da anatomia interna do corpo. Enfim, não faltam exemplos. Um dos mais belos - e, sem dúvida, o mais colorido - é o uso dos fractais na arte. Quando os computadores são alimentos com equações, eles criam magníficos desenhos abstratos.

Dizem que uma imagem pode substituir mil palavras. No caso, um único fractal pode ocupar o espaço de 100 000 palavras na memória do computador. E o objetivo dos pesquisadores é de que ele sirva por outras 100 000 palavras para mostrar ao público leigo aquilo que passa na cabeça de um matemático. "Muitas vezes, os matemáticos perdem anos tentando encontrar ou decifrar uma fórmula sem finalidade prática alguma - ao menos imediata" diz Rossetti Baptista. "Fazem isso porque a matemática é lúdica, com suas idéias abstratas. E é um pouco desse lado lúdico que as pessoas podem experimentar ao ver uma obra cuja base é uma equação."

Na opinião do professor José Teixeira Coelho Neto, da Escola de Comunicação da USP, a linguagem dos fractais tem tudo a ver com o presente. "Há muito tempo existem uma discussão na Arquitetura entre modernos e pós-modernos", exemplifica. Segundo ele, os modernos encaram os ângulos retos, a geometria clean como algo mais evoluído, enquanto os pós-modernos brigam contra esse conceito. "Assim, a geometria dos fractais vem como um reforço para o pós-modernismo."



Fonte: Revista SUPERINTERESSANTE, Outubro 1994 - Edição 85 - Pg.22-27
Site: http://www.fractarte.com.br/

sexta-feira, 28 de janeiro de 2011

O NÚMERO DE OURO


Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina. Se quiséssemos dividir um segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:

“Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.

O Papiro de Rhind (Egípcio)ou Ahmes que mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Refere-se a uma "razão sagrada" que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou seção áurea também aparece em muitas estátuas da antiguidade.

Construído há muitas centenas de anos depois, por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contem a fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. Fídias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construção deste templo. A designação adaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phi maiúsculo).






Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal.

os gregos consideraram que o retângulo cujos lados possuía esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a seção que se acredita ser a seção de ouro.

Leonardo da Vinci revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, a qual foi inspirada no pentágono regular e estrelado inscrito na circunferência. Já a Mona Lisa, que apresenta o retângulo de Ouro em múltiplos locais: (a) desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um retângulo de Ouro; (b) dividindo este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido também é de Ouro e (c) as dimensões do quadro também representam a razão de Ouro.





O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618.




Na teoria contida no livro Liber Abacci, do matemático italiano Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, ( http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-leonardo-de-pisa.html ) é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro contendo o número de ouro. Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): _Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida. Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

De uma forma mais simplificada podemos chegar ao numero de ouro e para isso vamos utilizar o seguinte processo: Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de A) , de maneira que a razão do segmento de reta mais pequeno (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC).

A razão entre os comprimentos destes segmentos designa-se habitualmente por seção
áurea. Então, tem-se que:



(AB) / (BC) = (BC) / (AC)



Pode-se então definir o número de ouro se fizer:



AB = y
BC = x
AC = x + y



O número de ouro vai ser a razão entre x e y:



y / x = x / ( x + y )



Se ainda substituir y por 1 tem-se:



1 / x = x / ( x + 1 )



Multiplicando ambos os lados por x ( x + 1 ), obtém-se:



x² - x - 1 = 0



Resolvendo esta equação quadrática, obtém-se as seguintes soluções:



x1 = ( 1 + raiz de 5 ) / 2
x2 = ( 1 - raiz de 5 ) / 2



Não se irá considerar o segundo valor (x2), tendo em conta que o comprimento de um polígono, nunca poderá ser negativo. Chega-se então, ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperado número de ouro Ф (Phi):




Ф = (1 mais a raiz de 5) divido por 2

Referências:
http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/home.html
http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf

quarta-feira, 26 de janeiro de 2011

TEORIA DO CAOS


Não é sempre que podemos assistir ao nascimento de uma nova ciência. No entanto, isso aconteceu em 1955, quando um cientista chamado Edward Norton Lorenz, com 38 anos de idade, começou a trabalhar no corpo docente da Boston Tech (hoje chamada de MIT - Instituto de Tecnologia de Massachusetts). O departamento era o de Meteorologia, que acabava de iniciar um projeto de previsão estatística do tempo.Nos Estados Unidos, a previsão do tempo é uma verdadeira mania nacional, e os comentaristas do tempo nos noticiários da TV são venerados como astros da telinha. Logicamente, a previsão do tempo tem um papel muito importante, não só para a vida do cidadão comum, mas principalmente para a agricultura e os negócios que giram em torno dela. É essencial saber com antecedência o que vem por aí: tempestades, furacões, etc.

Edward Norton Lorenz

Previsão linear

As previsões estatísticas do tempo eram do tipo linear, ou seja, as equações das previsões tinham constantes e apresentavam uma certa periodicidade inerente ao sistema linear.Não satisfeito com os resultados das previsões por equações lineares, Lorenz propôs, em um simpósio de 1955, a utilização de equações não lineares, ou seja, em que, ao invés de as constantes multiplicarem as variáveis, as funções multiplicariam.Exemplo:ax2 + bx + c = 0onde a, b, c são constantes = equação linearQuando a, b, c forem funções, normalmente em razão do tempo, e não constantes, a equação acima se torna não linear.

Condições iniciais e resultados

Tais equações possuem soluções não periódicas, gerando um modelo mais próximo da realidade. No final da década de 1950, Lorenz parou um processamento no meio e, ao retomá-lo, percebeu que os resultados não eram os mesmos do processamento anterior. Os resultados eram parecidos nos instantes iniciais, mas as alterações ficavam cada vez maiores diferindo muito dos processamentos anteriores.Ao invés de jogar aquela pilha de resultados no lixo, começou a analisá-los e chegou à conclusão de que quando se mudavam as condições iniciais os resultados finais eram totalmente diferentes. Isto foi denominado de caos.Até aqui tudo bem, mas, a resolução de tais equações requer um esforço computacional enorme. Supercomputadores são utilizados para este fim. Normalmente a resolução destas equações é feita por processos numéricos e não literais.

Efeito borboleta

Um dos elementos chaves da teoria do caos é o chamado "efeito borboleta", segundo o qual o bater de asas de uma borboleta pousada na muralha da China pode causar uma tempestade em Nova York. Isso significa, na verdade, que pequenos fatores podem provocar grandes transformações.Veja que se a previsão meteorológica é difícil em países temperados, nos paises tropicais os fatores influentes e, por conseguinte, as variáveis são inúmeras e mais complexas.

Conseqüências inesperadas

A teoria do caos deu origem aos fractais e suas bases foram expandidas em outras áreas. Como um pequeno boato pode influenciar a bolsa de valores?Se você se atrasar um minuto para sair de casa, pode perder o metrô de um certo horário, que pode provocar a perda de um ônibus para o aeroporto, que pode evitar a tomada de um avião que acabou caindo e matando todos os passageiros e tripulantes.


Resumidamente a teoria do Caos é que uma pequenina mudança no ínicio de um evento qualquer pode trazer conseqüências enormes e absolutamente desconhecidas no futuro. Ou seja, uma ação realizada por você ou qualquer outra pessoa ou um animal hoje, trará uma resultado amanhã, este desconhecido. Nas primícias da década de 1960, o então meteorologista americano Edward lorenz descobriu que fenômenos aparentemente simples tinham um comportamento tão desordenado quanto a vida. Ele chegou a tal conclusão ao testar um programa de computador que simulava o movimento de massas de ar. Até que num dia Lorenz teclou um dos números que alimentavam os cálculos da máquina com algumas casas decimais a menos, com a espectativa de que o resultado mudasse pouco. No entanto a alteração insignificante transformou completamente o padrão das massas de ar. Para o meteorologista, era como se “ o bater das asas de uma borboleta no Brasil causasse, tempos depois, um tornado no texas”. Com base em tais observações, ele formulou equações que mostravam o tal “efeito borboleta”. Estava criada a teoria do caos. Com o passar do tempo, cientistas concluíram que a mesma imprevisibilidade aparecia em quase tudo, da quantidade que o olho pisca até a cotação da Bolsa de Valores. Com tudo, na decada de 1970, o matemático polonês benoit mandelbrot deu um novo impulso à teoria do caos, ao notar que as equações de Lorenz coincidiam com as que ele próprio havia feito quando desenvolveu os fractais (figuras geradas a paritir de fórmulas que retratam matematicamente a geometria da natureza, como o relevo do solo ou as ramificações de veias e artérias). A união da matemática de Mandelbrot e o experimento de Lorenz, indica que a teoria do caos está na essência de tudo, modelando o universo.