quarta-feira, 19 de abril de 2017

GRANDES MATEMÁTICOS - LEIBNIZ



Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)


Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha, no dia 1o de julho de 1646. Ingressou na Universidade aos quinze anos de idade e, aos dezessete, já havia adquirido o seu diploma de bacharel. Estudou Teologia, Direito, Filosofia e Matemática na Universidade. Para muitos historiadores, Leibniz é tido como o último erudito que possuía conhecimento universal.
Aos vinte anos de idade, já estava preparado para receber o título de doutor em direito. Este lhe foi recusado por ser ele muito jovem. Deixou então Leipzig e foi receber o seu título de doutor na Universidade de Altdorf, em Nuremberg.
A partir daí, Leibniz entrou para a vida diplomática. Como representante governamental influente, ele teve a oportunidade de viajar muito durante toda a sua vida. Em 1672 foi para Paris onde conheceu Huygens que lhe sugeriu a leitura dos tratados de 1658 de Blaise Pascal se quisesse tornar-se um matemático. Em 1673, visitou Londres, onde adquiriu uma cópia do Lectiones Geometricae de Isaac Barrow e tornou-se membro da Royal Society. Foi devido a essa visita a Londres que apareceram rumores de que Leibniz talvez tivesse visto o trabalho de Newton, que por sua vez o teria influenciado na descoberta do Cálculo, colocando em dúvida a legitimidade de suas descobertas relacionadas ao assunto.
Sabemos hoje que isto não teria sido possível, dado que Leibniz, durante aquela visita a Londres, não possuía conhecimentos de geometria e análise suficientes para compreender o trabalho de Newton.
A partir daí, a Matemática estaria bastante presente nas descobertas de Leibniz. Em outra posterior visita a Londres, ele teria levado uma máquina de calcular, de sua invenção. Uma das inúmeras contribuições de Leibniz à Matemática, foi o estudo da aritmética binária, que segundo ele, havia sido utilizada pelos chineses e estaria presente no livro I Ching.
Como aconteceu com Newton, o estudo de séries infinitas foi muito importante no início de suas descobertas. Relacionando o triângulo de Pascal e o triângulo harmônico, Leibniz percebeu uma maneira de encontrar o resultado de muitas séries infinitas convergentes. A essa altura, ele voltou-se para o trabalho de Blaise Pascal - Traité des sinus du quart de cercle que lhe teria dado um importante insight: a determinação da tangente a uma curva dependia das diferenças das abscissas e ordenadas na medida em que essas se tornassem infinitamente pequenas e que a quadratura, isto é a área, dependia da soma das ordenadas ou retângulos infinitamente finos.
Esse insight levaria Leibniz em 1676 a chegar às mesmas conclusões a que havia chegado Newton alguns anos antes: ele tinha em mãos um método muito importante devido a sua abrangência. Independente de uma função ser racional ou irracional, algébrica ou transcendente - termo criado por Leibniz - as operações de encontrar "somas" (integrais) ou "diferenças" (diferenciais) poderiam ser sempre aplicadas. O destino havia reservado a Leibniz a tarefa de elaborar uma notação apropriada para estas operações, assim como a nomenclatura - Cálculo Diferencial e Cálculo Integral - ambas utilizadas atualmente.
O primeiro trabalho sobre Cálculo Diferencial foi publicado por Leibniz em 1684, antes mesmo do que Newton, sob o longo título Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur . Nesse trabalho apareceram as fórmulas:
d(xy) = xdy + ydx (derivada do produto)
d(x/y) = (ydx - xdy)/y2 (derivada do quociente)
dxn = nxn-1
Dois anos mais tarde, Leibniz publicaria no periódico Acta Eruditorum , um trabalho sobre o Cálculo Integral. Nesse trabalho, apresenta-se o problema da quadratura como um caso especial do método do inverso das tangentes.
Além do Cálculo, Leibniz contribuiu para outras áreas da Matemática. Foi ele quem generalizou o teorema do binômio em Teorema do Multinômio, para expansões do tipo   (x + y + z)n. A primeira referência do método dos determinantes no mundo ocidental também foi feita por ele. Leibniz reelaborou e desenvolveu o conceito de lógica simbólica. Contribuiu também para a teoria de probabilidades e a análise combinatória.
O peso das descobertas e contribuições de Leibniz para o Cálculo e para a Matemática como um todo é tão grande que outras importantes áreas de atuação freqüentemente são deixadas de lado. Não obstante Leibniz é considerado também um dos sete filósofos modernos mais importantes.
Em Física, Leibniz acabou negando a teoria da gravitação de Newton pois acreditava que nenhum corpo podia entrar em movimento "naturalmente", a não ser através do contato com outro corpo que o impulsionaria. Ele também rejeitou os conceitos newtonianos de espaço e tempo absolutos. Junto com Huygens, Leibniz desenvolveu o conceito de energia cinética. Apesar de tudo, as suas contribuições para a ciência foram de certa forma obscurecidas por aquelas de Newton. Isto, entretanto, não o faz menos importante de Newton na descoberta do Cálculo. Na realidade Leibniz e Newton foram os dois maiores protagonistas na descoberta desta poderosa ferramenta matemática, o Cálculo.
É sabido que Leibniz era capaz de ficar sentado na mesma cadeira por vários dias pensando. Era um trabalhador incansável, um correspondente universal - ele tinha mais de 600 correspondentes. Era patriota, cosmopolita e um dos gênios mais influentes da civilização ocidental. Em julho de 1716 adoeceu, ficou então de cama até a sua morte, dia 14 de novembro em Hannover, Alemanha.

FONTE:  http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm

quarta-feira, 16 de dezembro de 2015

GRANDES MATEMÁTICOS - Henri Poincaré

Henri Poincaré deu muitas contribuições para as áreas de Física, Matemática e Filosofia da Ciência.

Nascido em 29 de abril de 1854, em Paris, na França, Jules Henri Poincaré foi matemático, físico e filósofo da ciência.

Ingressou na Escola Politécnica em 1873, continuou seus estudos na Escola de Minas sob a tutela de Charles Hermite, e se doutorou em matemática em 1879. Foi nomeado professor de física matemática na Sorbonne (1881), posto que manteve até sua morte.

 Antes de chegar aos trinta anos desenvolveu o conceito de funções automórficas, que usou para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes algébricos. Em 1895 publicou seu Analysis situs, um tratado sistemático sobre topologia. 

No âmbito das matemáticas aplicadas estudou numerosos problemas sobre óptica, eletricidade, telegrafia, capilaridade, elasticidade, termodinâmica, mecânica quântica, teoria da relatividade e cosmologia.

 É frequentemente descrito como o último universalista em Matemática. Ele fez contribuições para diversos ramos da Matemática, Mecânica Celeste, Mecânica dos Fluidos, a Teoria Especial da Relatividade e da Filosofia da Ciência. 
Grande parte de sua pesquisa envolveu interações entre diferentes temas matemáticos e sua ampla compreensão de todo o espectro de conhecimento lhe permitiu atacar os problemas de muitos ângulos diferentes.

 Antes dos 30 anos, ele desenvolveu o conceito de funções automórficas que são funções de uma variável complexa invariante sob um grupo de transformações caracterizado algebricamente por razões de termos lineares. A ideia era vir de forma indireta a partir do trabalho de sua tese de doutorado sobre equações diferenciais. Seus resultados aplicava apenas às classes restritas de funções e Poincaré queria generalizar estes resultados, mas como um caminho para isso, ele olhou para uma série de funções de classe, onde não existem soluções. Isso o levou para as funções que ele nomeou de funções automórfica. A ideia fundamental veio a ele como ele estava prestes a entrar em um ônibus.

 Em Matemática Aplicada ele estudou Óptica, Eletricidade, Telegrafia, Capilaridade, Elasticidade, Termodinâmica, Teoria Potencial, Teoria quântica, Teoria da Relatividade e Cosmologia. 

 No campo da Mecânica Celeste, ele estudou as teorias da luz e das ondas eletromagnéticas. Ele é reconhecido como um co-descobridor, com Albert Einstein e Hendrik Lorentz, da teoria da relatividade especial.

 Poincaré acreditava que se podia escolher entre a geometria euclidiana e não-euclidiana como a geometria do espaço físico. Ele acreditava que, porque as duas geometrias foram topologicamente equivalente, em seguida, pode-se traduzir as propriedades de um para o outro, por isso não está correto ou falso. Por esta razão, argumentou que a geometria euclidiana seria sempre preferível pelos físicos. Isto, no entanto, não provou ser correta e a evidência experimental hoje mostra claramente que não é o espaço físico euclidiano.

 Poincaré fez muitas contribuições em diferentes campos tais como: mecânica celestial, mecânica dos fluidos, óptica, eletricidade, telégrafo, capilaridade, elasticidade, termodinâmica, teoria do potencial, mecânica quântica, teoria da relatividade e cosmologia.

 Ele também trabalhou para a popularização da matemática e da física e escreveu vários trabalhos para público leigo.
Entre tópicos específicos que ele contribuiu podem ser enumerados
  • Em um trabalho de 1894, ele enunciou o conceito de grupo fundamental. 
  • No campo da equação diferencial Poincaré obteve muitos resultados que são críticos para a teoria qualitativa das equações diferenciais, por exemplo a Esfera de Poincaré e o mapa de Poincaré.


domingo, 29 de junho de 2014

Grandes Matemáticos - LEONHARD EULLER


Leonhard Euller, matemático e físico que nasceu em uma cidade suÍça chamada Basileia, em 15 de abril de 1707 – São Petersburgo em 1783. Leonardo Euler, o maior matemático de todos os tempos, filho de Paul Euler e Margaret Brucker, teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena, uma família tradicionalmente dedicada a pesquisas científicas.

Ao completar um ano de idade seus pais mudaram-se para Riehen, perto de Basileia, cidade na qual passou maior parte da sua infância.

O fascínio pela matemática foi desenvolvido desde cedo por meio das aulas que seu pai lhe dava. Ao completar idade de ir para a escola foi levado para Basileia para ficar com a sua avó. Na escola pouco aprendeu sobre Matemática. Portanto, o fascínio não aconteceu na escola, o gosto que tinha ganho pela disciplina levou-o a estudar sozinho diversos livros de Matemática e a ter lições às escondidas.

Paul Euler, seu pai, que almejava a carreira de teólogo para o seu filho, colocou o jovem Leonhard na Universidade de Basileia para que pudesse seguir estudos de Teologia. Leonhard ingressou para a universidade em 1720, com 14 anos, para, primeiro, adquirir instruções geral e só após obter estudos mais avançados.

Em 1723 recebeu o grau de Mestre em Filosofia. E neste mesmo ano dá início ao curso de Teologia, satisfazendo assim os desejos de seu pai. Porém, embora tendo sido um cristão devoto, nunca sentiu a mesma admiração pela Teologia como sentia pela Matemática.

Neste sentido, ajudado por Jean Bernoulli, convenceu o seu pai a deixá-lo mudar para o curso de Matemática. Dessa, Euler recebeu uma instrução bastante sólida pois, estudou, além de Matemática, Medicina, Astronomia, Física e Línguas Orientais.

Em 1726 terminou os estudos na Universidade de Basileia. No ano seguinte foi indicado para o Grande Prêmio da Academia de Paris com uma produção sobre mastros de navios. Não garantiu o primeiro lugar, ficando com o segundo, posição esta que constituiu ao jovem matemático, um grande incentivo.

Em 1735, por meio da resolução de um problema chamado “problema da Basileia”, Euler recebe fama mundial. Trata-se de somar a série infinita dos inversos dos quadrados. Johann Bernoulli tinha lutado com este problema durante décadas, tendo desafiado matemáticos de todo o mundo. Euler desenvolve assim um novo método analítico para lidar com o problema. Mas o seu método permite também somar todas as séries infinitas do mesmo tipo em que o expoente é um número par.

Neste mesmo ano, Leonardo perdeu a visão de um olho, tendo como conseqüência um problema neurológico

A precocidade e o vivacidade de seus primeiros trabalhos despertaram o interesse dos principais matemáticos de sua época, como Jean Bernouilli e seus filhos, e converteram-no, aos vinte anos, em membro associado da Academia de Ciências de São Petersburgo, para onde se transferira. Por meio de livros e monografias que apresentou à Academia, Euler aprimorou os conhecimentos da época sobre cálculo integral, desenvolveu a teoria das funções trigonométrica e logarítmica e simplificou as operações relacionadas à análise matemática. Sua contribuição para a geometria analítica e para a trigonometria é comparável à de Euclides para a geometria plana. A tendência a expressar operações físicas e matemáticas em termos aritméticos incorporou-se desde então aos procedimentos das ciências exatas.

Assim, durante os anos seguintes, Euler consegue transformar a Matemática e a Física. Em seis anos produz trabalhos fundamentais em teoria dos números, séries, cálculo de variações, mecânica, entre muitos outros.

Após ganhar, por duas vezes, o Grande Prêmio da Academia de Paris, Euler recebeu o convite de Frederico, o Grande para fazer parte da Academia de Ciências da Prússia, sediada em Berlim. Recusou o convite de início mas, como a vida na Rússia para os estrangeiros não era fácil, Euler reconsiderou o pedido.

Partiu de S. Petersburgo dia 19 de Junho de 1741 e viveu 25 anos em Berlim, onde escreveu mais de 380 artigos.

A contribuição de Euler para a ciência matemática foi publicada em Berlim e teve como um de seus pilares a Introductio in analysim infinitorum (1748); Introdução à análise dos infinitos), obra que constitui um dos fundamentos da matemática moderna.

Uma outra obra de suas maiores contribuições foi ao nível das *notações*: * (...) numa exposição manuscrita dos seus resultados, escrita provavelmente em 1727 ou 1728, Euler usou a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a base do sistema de logaritmos naturais.

A Euler também se atribui o uso definitivo da letra grega p como notação para a razão da circunferência e para o diâmetro do círculo. Não foi o primeiro matemático a utilizá-la, pois há registo de uma outra ocorrência em 1706, mas foi o primeiro a reconhecer a sua importância e utilidade. A adaptação do símbolo p por Euler em 1737, e mais tarde em seus muitos e populares livros de texto, que o tornou largamente conhecido e usado (Boyer, 1974, p. 326) A introdução do símbolo i para Ö (-1) foi mais uma notação adotada em 1777, quase no fim da sua vida.

Euler como qualquer ser humano, tinha caído em desgraça junto de Frederico II, que lhe chamava “ciclope”, referência esta devido ao seu defeito físico. Desde 1735, Euler sofria de alguns problemas de saúde, como febres altas. Em 1738, veio a perdeu a visão do olho direito, devido ao excesso de trabalho. Mas tal infelicidade não diminuiu em nada a sua produção Matemática.

Euler produzir trabalhos de diferentes gêneros, como por exemplo, material para livros-textos para as escolas russas. Geralmente escrevia em latim, mas também em francês, embora a sua língua de origem fosse o alemão. Tinha uma enorme facilidade para línguas, como bom suíço que era, o que lhe facilitava muito a vida nas diversas viagens que fazia, como era costume dos matemáticos do século XVIII.

Em 1749, depois de 7 anos de trabalho e quase cem anos após a morte de Fermat, conseguiu provar a teoria de Fermat.

Em 1771, perdeu todos os seus manuscritos matemáticos, considerados seus verdadeiros bens, num incêndio na sua casa. No mesmo ano é operado às cataratas, o que lhe devolve a visão durante um breve período de tempo. Mas, por Euler não terá tomado os cuidados médicos necessários ficou completamente cego.

Euller considerado um ser de auto-superarão, pois apesar dele ter tido uma doença visual, na qual veio a ficar cego nos seus últimos quatorze anos, de forma impressionante, continuou com seus projetos científicos, que contou com além da sua fabulosa memória, com a ajuda de várias pessoas, entre elas, filhos Albrecht Euler ajudou-o na publicação de um trabalho com 775 páginas sobre o movimento da Lua, em 1772 e Fuss ajudou-o a preparar mais de 250 artigos, durante 7 anos, tornando-se mais tarde seu assistente.

Conseguiu produzir um número tão grande de artigos matemáticos, após a cegueira, que a Universidade onde trabalhava ficou quase 50 anos para publicar todo o material deixado por ele. Quando ele viu que estava ticando completamente cego

Portanto, a sua cegueira não foi problema para as suas pesquisas e publicações que continuaram até 1783, quando, aos 76 anos faleceu subitamente enquanto tomava chá com um dos seus netos.

Euler, é considerado o matemático mais produtivo na história da Matemática. Seu legado é de um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).

Suas produções foram tantas que durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida. Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.

Na matemática Euler apareça associado avarias invenções, teoremas e fórmulas. Como Por exemplo.

1) Fórmula de Euler do poliedro

2) Problema das sete pontes de Konigsberg

3) A “outra” formula de Euler

4) Equação de Euler-Lagrange

5) Equações de Euler da dinâmica dos fluidos

6) Densidade dos números primos

7) Função totiente de Euler

8) Integrais de Euler: Funções gama e beta

9) Equações de Euler da dinâmica dos corpos rígidos

10) Problema da Basiléia

11) Funções geratrizes e números de partição

12) Problema de 3 corpos de Euler

13) Ângulos de Euler

14) Constante de Euler-Mascheroni

15) Quadrados de Euler

16) A Formula de Euler

17) O Número Phi

Fontes: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/modulos/history/euler/euler.html
            http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
            http://www.somatematica.com.br/biograf/euler.php
            http://www.mirror.co.uk/news/uk-news/leonhard-euler-mathematicians-306th-birthday-1833422

domingo, 23 de março de 2014

O pi não é mais o tal? Seria o tau o tal?

O pi não é mais o tal

Um grupo de matemáticos propõe eliminar o célebre número pi e substituí-lo pelo obscuro tau
Peter Moon

EURECA!
O matemático e filósofo grego Arquimedes foi o primeiro a calcular com exatidão o valor do pi = 3,1416...
Hoje em dia há datas para celebrar quase qualquer coisa. Nos Estados Unidos, 6 de junho é o dia nacional do ioiô e 7 de junho o dia do sorvete de chocolate. Em São Paulo, 24 de abril é o dia do samurai. Agora é a vez do tau. Um grupo de matemáticos de diversos países quer instituir a data de 28 de junho como o dia internacional do tau. O que vem a ser esse tal do tau? Tau (t) é a letra grega que na matemática simboliza um número de valor igual a 6,2831... ou simplesmente 6,28. Daí a inspiração para a escolha do dia 28 de junho. Tau é o dobro do célebre pi (p) ou 3,1416..., aquele mesmo que se aprende na escola na hora de calcular a circunferência e a área de um círculo. (Leia o quadro abaixo.)
O físico americano Michael Hartl, que já pesquisou na Universidade Harvard e no Instituto de Tecnologia da Califórnia, lançou um manifesto conclamando a comunidade matemática do mundo a abraçar o tau e derrubar o pi. Para Hartl, o tau é um dos números mais importantes da matemática. No manifesto, Hartl explica as razões pelas quais o pi deveria ser substituído por tau. É evidente que tais razões são tão incompreensíveis quanto irrelevantes para quase todos nós.
O dia do tau já é celebrado informalmente por um grupo crescente de matemáticos desde 2001. A tradição surgiu quando o matemático americano Bob Palais, da Universidade de Utah, publicou o trabalho intitulado “O pi está errado”. Obcecado com a beleza da precisão das notações matemáticas, Palais afirma que o uso do pi nos cálculos do círculo é impreciso. Substituir pi por tau eliminaria tal imprecisão. Para Palais, pouco importa que o pi esteja em uso desde o tempo dos cálculos para a construção da Grande Pirâmide de Queóps, há 4.500 anos. Também é irrelevante o argumento de que o valor do pi tenha sido calculado com precisão pela primeira vez pelo filósofo grego Arquimedes de Siracusa, um dos maiores matemáticos da história. Ele viveu na Sicília dois séculos antes de Cristo.
O matemático inglês Kevin Houston, da Universidade de Leeds, diz que o manifesto “é uma das coisas mais esquisitas” que já viu. Mas o apoia. “É surpreendente que ninguém tenha pensado nisso antes. Quando se compara o uso do pi ao do tau, o tau vence.” Por enquanto, é claro, os matemáticos continuam andando em círculos.



Fonte: http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/0,,EMI245625-15224,00-O+PI+NAO+E+MAIS+O+TAL.html