Números Amigos?!?!?!?!

A Matemática é pautada por uma série de termos que, geralmente causam estranheza a aqueles que estão tomando contatos iniciais com esse mundo. Por vezes tais estranhezas causam até certa diversão ou mesmo certo espanto.

Veja o exemplo de Números Primos. Quando falamos de Primos ou Primos entre si, vem a nossa memória a idéia de parentesco entre os números dados.

Por definição, números primos são números naturais maiores que 1 e que são divididos somente pelos números 1 e por ele mesmo.

E o que dizer sobre os números amigos ou números amigáveis?

Quando usamos os termos amigos ou amigáveis, instintivamente pensamos em números que vão juntos ao cinema, curtem as mesmas coisas, compartilham seus segredos ou que tem uma relação de amizade.

Claro que nem tudo que define uma amizade entre duas pessoas se aplica aos números, mas algumas definições sobre as amizades podem ser verdadeiras entre os números amigos.

Temos então a definição de números amigos, pares de números que são chamados de amigos se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro.

Tomemos como exemplo os números 220 e 284, onde perceberemos então que:

Divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110
Somando os divisores: 1 + 2 + 4 + 5 + 1 0 + 11+ 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Divisores de 284: 1, 2, 4, 71, 142
Somando os divisores: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Então os números 220 e 284 são números amigos.

Por enquanto não existe uma fórmula matemática ou método conhecido no intuito de listar todos os pares de números amigáveis, o que se sabe é que a descoberta deste par de números é atribuída à Pitágoras (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-pitagoras-de-samos.html).

Houve uma aura mística em torno deste par de números, e estes representaram papel importante na magia, feitiçaria, na astrologia e na determinação de horóscopos.

Outros números amigos foram descobertos com o passar do tempo. Pierre Fermat (http://professorjairojr.blogspot.com/2010/10/grandes-matematicos-pierre-fermat.html) anunciou em 1636 um novo par de números amigos formando por 17296 e 18416, mas na verdade tratou-se de uma redescoberta, pois, o árabe al-Banna (1256 - 1321) já havia encontrado este par de números no fim do século XIII.

Leonhard Euler, matemático suíço, estudou sistematicamente os números amigos e descobriu em 1747 uma lista de trinta pares, e ampliada por ele mais tarde para mais de sessenta pares. Todos os números amigos inferiores a um bilhão já foram encontrados.

Referências:

www.somatematica.com.br/curiosidades.php

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/namigos.html

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-amigaveis.htm

Brinquedo de Gênio - O Quebra-Cabeça de Arquimedes

Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da física, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-arquimedes-de.html) agora é apontado também como o possível inventor de um dos passatempos mais antigos do mundo.

De todos os seus feitos, o que levou mais fama foi a descoberta do empuxo. Conta-se que, enquanto tomava banho de banheira, o grego se deu conta de que o volume de seu corpo imerso deslocava para cima um volume de água de igual valor. Além disso, seu corpo imerso sofria a ação de uma força vertical, para cima - o empuxo -, de valor exatamente igual ao peso da água que era deslocada pelo seu corpo. Entusiasmado com a descoberta o gênio teria saído nu às ruas gritando "Eureca!" (descobri, em grego).

Arquimedes também deixou para a humanidade os benefícios do parafuso, das roldanas, das alavancas e invenções de ataque e defesa militares, como a catapulta. Como matemático, o grego é famoso pelos seus trabalhos e descobertas na geometria, como o cálculo do número "pi" e a medição de áreas de figuras geométricas.

Só que agora, investigando velhos pergaminhos e manuscritos, o historiador de matemática Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia, afirma que Arquimedes foi também pioneiro em análise combinatória, área que só ganhou mais incentivo e aplicação com os computadores, no século 20. Os matemáticos desse ramo procuram determinar de quantas maneiras um problema pode ser resolvido. E esses estudos podem ser aplicados na busca do melhor jeito de se realizar uma tarefa. Fazemos algo parecido, por exemplo, quando temos convidados para jantar e queremos saber de quantas formas eles podem ser distribuídos à mesa, e qual a melhor distribuição de pessoas nas cadeiras (quem ao lado de quem).

Os pergaminhos, depois de passar pelas mãos de vários povos da Idade Média, desaparecer várias vezes, ir parar em mosteiros em que monges os utilizaram para escrever orações, sumir de novo e sofrer a ação de mofos, foram reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador para separar o que seria original (transcrição do trabalho de Arquimedes) de ruídos (orações escritas, mofos etc.), a equipe liderada por Netz chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho inédito sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.

O trabalho descreve um quebra-cabeça que consiste em um quadrado fracionado em 14 partes. O objetivo do jogo é, depois de embaralhados, juntar esses 14 pedaços para formar novamente o quadrado ou ainda outras figuras conhecidas. O stomachion é parecido com o Tangram, mais difundido hoje, o desafio chinês de 7 peças.

Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter perdido seu tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses para crianças. Mas analisando os manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado. Hoje, essa é uma questão para os especialistas em análise combinatória responderem. E eles podem recorrer à ajuda de computadores. Netz propôs o problema para matemáticos atuais da área de combinatória e eles, depois de seis semanas, concluíram que a resposta é 17.152.

Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. E isso há 2.200 anos, enquanto descobria leis da natureza, relações geométricas e inventava máquinas. Ele só não se preocupou em proteger sua própria vida. Conta-se que, absorto em seus estudos, foi morto por um soldado romano durante a invasão de sua cidade, enquanto estudava e escrevia equações matemáticas nas areias da praia de Siracusa, na atual Sicília. Arquimedes teria se recusado a parar de estudar durante o cerco.

Fonte: KAWANO, Carmen. O quebra-cabeça de Arquimedes: pergaminhos revelam trabalho inédito do grego em Análise Combinatória. Revista Galileu, nº 151, Rio de Janeiro. Editora Globo. 2004. Disponível em http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT669583-2680,00.html

Obras Fundamentais na História da Álgebra

Comumente respondo perguntas de meus alunos sobre quem inventou a matemática, ou quem inventou a Álgebra, e correntemente digo que tanto a matemática como a álgebra não são obras de um único homem, ou de um único pensador. Tanto uma como a outra como a conhecemos hoje são as compilações de diversos pensadores onde os pensamentos e métodos se complementaram e se aperfeiçoaram no decorrer dos séculos.

Abaixo segue uma lista das principais obras, ou como o próprio nome diz, uma lista das Obras Fundamentais na História da Álgebra:

Por volta do ano 300 a. C. o matemático grego Euclides (325-265 a. C.) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos.html) escreveu a obra intitulada Elementos, constituída por treze livros.

Ele desenvolveu uma técnica denominada Álgebra geométrica, em que representava as expressões algébricas por meio da descrição de segmentos, áreas e volumes em Geometria.

Outra obra importante é a Aritmética, de Diofante (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/diofante-de-alexandria.html). Esse matemático viveu por volta do século III d. C., em Alexandria, e acredita-se ter sido o primeiro a usar algumas palavras abreviadas em textos matemáticos, o que seria o início da linguagem (notação) algébrica.

No século IX d. C., o matemático Al-Khowarizmi (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-al-khwarizmi.html) escreveu o livro Al-Jabr-Wa al-Muqabalah, cujo título possivelmente deu origem ao termo álgebra.

O francês François Viète (1540-1603) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/06/francois-viete.html) introduziu, no fim do século XVI, a primeira notação algébrica sistemática em seu livro In artem analyticam isagoge (Introdução à arte analítica), publicado na cidade francesa de Tours em 1591.

Mais tarde, diversos matemáticos, tais como René Descartes (1596-1650)  (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/07/rene-descartes.html), trataram problemas de natureza algébrica por meio da nova notação. Entre as obras de Descartes, destaca-se o Discours de la méthode (Discurso sobre o método), de 1637.

Claro que, ao observar os livros e os pensadores envolvidos neste ensaio, não podemos dizer que a Álgebra ou a própria Matemática como a conhecemos hoje tem somente estes responsáveis, no estudo aprofundado, mesmo deste blog, ou de algumas áreas mais diversificadas do conteúdo matemático, notaremos a contribuição de diversos ícones do pensamento humano e mesmo diversos filósofos, médicos, advogados e tantos outros pensadores que contribuíram para a "Rainha das Ciências" e para o seu desenvolvimento.

Fonte: BARROSO, Juliane  Matsubara. Matemática - Problemas, exercícios etc - Projeto Araribá: matemática. Editora Moderna, São Paulo, 2006.