sexta-feira, 28 de abril de 2017

Grandes Matemáticos - John Nepier



John Napier

É tido como o “inventor dos Logarítmos”. Os logaritmos neperianos são assim chamados em sua homenagem.
John Napier nasceu em 1550 no castelo de Merchiston, perto de Edimburgo, Escócia. Viveu a maior parte de sua vida na majestosa propriedade da família pois era um abastado proprietário rural, um barão (Barão de Murchiston).
Aos 13 anos, ingressou na Universidade de Saint Andrews e interessou-se por teologia e aritmética.

Em 1571, Napier voltou à a sua cidade e não mais saiu, dedicando-se a discussões políticas e religiosas de seu tempo.

Era protestante e anticatólico, e devido a sua grande engenhosidade e imaginação, muitos acreditavam que ele fosse mentalmente desequilibrado e outros o consideravam um explorador da magia negra. 

Por ser um protestante fervoroso dedicou-se mais à religião do que a Matemática, pois essa era somente um passatempo.

Em 1593 publicou uma obra contra a igreja católica, intitulado “A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John” (Uma Descoberta plena de toda a Revelação de São João), no qual se propunha a provar que o papa era o Anticristo e que o Criador tenciona pôr fim ao mundo nos anos entre 1688 e 1700.

John Napier estudava Matemática e Ciência de forma amadora, no qual mais se destacou, com a invenção de vários artifícios para o ensino da aritmética, estudos sobre a história da notação arábica e o grande interesse pelos princípios que fundamentam a notação dos números. Deve-se a ele uma das primeiras tentativas de desenvolvimento da base dois para a contagem. Destacou-se ainda na geometria, ao criar novos métodos para a trigonometria esférica, além um engenhoso dispositivo mnemônico, conhecido como “regra das partes circulares”, fórmulas trigonométricas de um grupo de quatro conhecidas como “analogias de Napier, a invenção de um instrumento, conhecido como “barras de Napier” ou “ossos de Napier”, e a mais notável de todas essas contribuições, a invenção dos Logaritmos. 

Os logaritmos surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração, assim como transformam potenciação e radiciação em multiplicação e divisão, respectivamente. 

Existem vestígios do surgimento dos logaritmos na Antiguidade, desde que os babilônios construíram tabelas logarítmicas e que Arquimedes de Siracusa, ao se deparar com números grandes, elaborou citações que tiveram importância na elaboração de conceitos iniciais sobre logaritmos. 

Com a expansão comercial e a necessidade de aprimorar técnicas de navegação, fatos que marcaram os séculos XV e XVI, esses aspectos sociais exigiam métodos práticos e rápidos que facilitassem os cálculos. Com o surgimento do logaritmo, deixou-se de fazer muitos cálculos com relações trigonométricas. 

Além de sua importância nas navegações e no comércio, o logaritmo também foi importante para calcular o acúmulo de riquezas e dos juros gerados pelas viagens marítimas e no desenvolvimento da Astronomia, com isso, facilitando o trabalho de diversos astrônomos como Tycho Brahe e Johannes Kepler. Na astronomia, em particular, já estava passando da hora para essa descoberta, pois, como afirmou Pierre Simon Laplace, a invenção dos logaritmos “ao diminuir o trabalho, dobrou a vida dos astrônomos”. 

Sua primeira abordagem foi em 1614 num texto intitulado “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” (Descrição da maravilhosa Lei dos Logaritmos).

Seu trabalho deu o impulso final para o emprego universal da notação decimal, com o uso sistemático de casas decimais depois da vírgula para representar frações decimais.
Os problemas enfrentados em sua época diziam respeito às navegações e à astronomia e as operações que precisavam ser efetuadas envolviam números com muitos dígitos, o que as tornava muito difíceis, principalmente no caso das multiplicações e divisões.
Na invenção dos logaritmos, Napier trabalhou durante 20 anos antes de publicar seus resultados. Isso ocorreu em 1614, quando publicou Mirifici logarithmorum canonis descriptio .
Em sua obra, Napier utilizou uma progressão geométrica de razão um pouco menor do que 1, especificamente 0,999999=1-10-7, colocando como primeiro termo o número 107.
A PG assim considerada era formada por números grandes e próximos. A partir de 107, multiplicando sucessivamente por 1-10-7, Napier obteve os 100 primeiros termos da sequência. Napier notou que
an+1=107(1-10-7)n+1=107(1-10-7)n.(1-10-7)=an.(1-10-7)=an-an.10-7  ou seja, cada termo da PG era igual ao anterior menos 10-7 multiplicado por ele.
Para ele, o que hoje entendemos por n=N.log(an) era escrito como an=107.(1-107)n.
Como a razão é menor que 1, a PG é decrescente e, portanto, Nlog é uma função decrescente ao contrário de log10. É preciso notar que a propriedade
log(ab)=log a+log b também não é válida:
an.am = 107.(1-107)n.107.(1-107)m =
= 107. 107.(1-107)n+m =
= 107.an+m
Assim:
ou seja,
.
Em toda a sua obra, o conceito de função logarítmica está implícito, embora isso não fosse o fato mais importante para Napier. Na verdade, seu intuito era apenas o de simplificar computações, especialmente de produtos e quocientes

O trabalho contém uma tábua que dá os logaritmos dos senos de ângulos para minutos sucessivos de arco, tratando-se de técnicas simplificadoras de resolução de problemas de cálculo numérico, problemas estes relacionados com o desenvolvimento do comércio e do progresso da Navegação e Astronomia. Em 1619, publicou “Mirifici logarithmorum canonis constructio” (Cálculo das normas dos Logaritmos maravilhosos). 

John Napier faleceu no castelo de Merchiston, em 1617. Os Logaritmos Neperianos (número e), inventados por Leonhard Euler, são assim chamados em sua homenagem.

quarta-feira, 19 de abril de 2017

GRANDES MATEMÁTICOS - LEIBNIZ



Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)


Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha, no dia 1o de julho de 1646. Ingressou na Universidade aos quinze anos de idade e, aos dezessete, já havia adquirido o seu diploma de bacharel. Estudou Teologia, Direito, Filosofia e Matemática na Universidade. Para muitos historiadores, Leibniz é tido como o último erudito que possuía conhecimento universal.
Aos vinte anos de idade, já estava preparado para receber o título de doutor em direito. Este lhe foi recusado por ser ele muito jovem. Deixou então Leipzig e foi receber o seu título de doutor na Universidade de Altdorf, em Nuremberg.
A partir daí, Leibniz entrou para a vida diplomática. Como representante governamental influente, ele teve a oportunidade de viajar muito durante toda a sua vida. Em 1672 foi para Paris onde conheceu Huygens que lhe sugeriu a leitura dos tratados de 1658 de Blaise Pascal se quisesse tornar-se um matemático. Em 1673, visitou Londres, onde adquiriu uma cópia do Lectiones Geometricae de Isaac Barrow e tornou-se membro da Royal Society. Foi devido a essa visita a Londres que apareceram rumores de que Leibniz talvez tivesse visto o trabalho de Newton, que por sua vez o teria influenciado na descoberta do Cálculo, colocando em dúvida a legitimidade de suas descobertas relacionadas ao assunto.
Sabemos hoje que isto não teria sido possível, dado que Leibniz, durante aquela visita a Londres, não possuía conhecimentos de geometria e análise suficientes para compreender o trabalho de Newton.
A partir daí, a Matemática estaria bastante presente nas descobertas de Leibniz. Em outra posterior visita a Londres, ele teria levado uma máquina de calcular, de sua invenção. Uma das inúmeras contribuições de Leibniz à Matemática, foi o estudo da aritmética binária, que segundo ele, havia sido utilizada pelos chineses e estaria presente no livro I Ching.
Como aconteceu com Newton, o estudo de séries infinitas foi muito importante no início de suas descobertas. Relacionando o triângulo de Pascal e o triângulo harmônico, Leibniz percebeu uma maneira de encontrar o resultado de muitas séries infinitas convergentes. A essa altura, ele voltou-se para o trabalho de Blaise Pascal - Traité des sinus du quart de cercle que lhe teria dado um importante insight: a determinação da tangente a uma curva dependia das diferenças das abscissas e ordenadas na medida em que essas se tornassem infinitamente pequenas e que a quadratura, isto é a área, dependia da soma das ordenadas ou retângulos infinitamente finos.
Esse insight levaria Leibniz em 1676 a chegar às mesmas conclusões a que havia chegado Newton alguns anos antes: ele tinha em mãos um método muito importante devido a sua abrangência. Independente de uma função ser racional ou irracional, algébrica ou transcendente - termo criado por Leibniz - as operações de encontrar "somas" (integrais) ou "diferenças" (diferenciais) poderiam ser sempre aplicadas. O destino havia reservado a Leibniz a tarefa de elaborar uma notação apropriada para estas operações, assim como a nomenclatura - Cálculo Diferencial e Cálculo Integral - ambas utilizadas atualmente.
O primeiro trabalho sobre Cálculo Diferencial foi publicado por Leibniz em 1684, antes mesmo do que Newton, sob o longo título Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur . Nesse trabalho apareceram as fórmulas:
d(xy) = xdy + ydx (derivada do produto)
d(x/y) = (ydx - xdy)/y2 (derivada do quociente)
dxn = nxn-1
Dois anos mais tarde, Leibniz publicaria no periódico Acta Eruditorum , um trabalho sobre o Cálculo Integral. Nesse trabalho, apresenta-se o problema da quadratura como um caso especial do método do inverso das tangentes.
Além do Cálculo, Leibniz contribuiu para outras áreas da Matemática. Foi ele quem generalizou o teorema do binômio em Teorema do Multinômio, para expansões do tipo   (x + y + z)n. A primeira referência do método dos determinantes no mundo ocidental também foi feita por ele. Leibniz reelaborou e desenvolveu o conceito de lógica simbólica. Contribuiu também para a teoria de probabilidades e a análise combinatória.
O peso das descobertas e contribuições de Leibniz para o Cálculo e para a Matemática como um todo é tão grande que outras importantes áreas de atuação freqüentemente são deixadas de lado. Não obstante Leibniz é considerado também um dos sete filósofos modernos mais importantes.
Em Física, Leibniz acabou negando a teoria da gravitação de Newton pois acreditava que nenhum corpo podia entrar em movimento "naturalmente", a não ser através do contato com outro corpo que o impulsionaria. Ele também rejeitou os conceitos newtonianos de espaço e tempo absolutos. Junto com Huygens, Leibniz desenvolveu o conceito de energia cinética. Apesar de tudo, as suas contribuições para a ciência foram de certa forma obscurecidas por aquelas de Newton. Isto, entretanto, não o faz menos importante de Newton na descoberta do Cálculo. Na realidade Leibniz e Newton foram os dois maiores protagonistas na descoberta desta poderosa ferramenta matemática, o Cálculo.
É sabido que Leibniz era capaz de ficar sentado na mesma cadeira por vários dias pensando. Era um trabalhador incansável, um correspondente universal - ele tinha mais de 600 correspondentes. Era patriota, cosmopolita e um dos gênios mais influentes da civilização ocidental. Em julho de 1716 adoeceu, ficou então de cama até a sua morte, dia 14 de novembro em Hannover, Alemanha.

FONTE:  http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm