O NÚMERO DE OURO

Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina. Se quiséssemos dividir um segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:

“Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.

O Papiro de Rhind (Egípcio)ou Ahmes que mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Refere-se a uma "razão sagrada" que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou seção áurea também aparece em muitas estátuas da antiguidade.

Construído há muitas centenas de anos depois, por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contem a fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. Fídias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construção deste templo. A designação adaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phi maiúsculo).

Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal.

os gregos consideraram que o retângulo cujos lados possuía esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a seção que se acredita ser a seção de ouro.

Leonardo da Vinci revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, a qual foi inspirada no pentágono regular e estrelado inscrito na circunferência. Já a Mona Lisa, que apresenta o retângulo de Ouro em múltiplos locais: (a) desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um retângulo de Ouro; (b) dividindo este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido também é de Ouro e (c) as dimensões do quadro também representam a razão de Ouro.

O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618.

Na teoria contida no livro Liber Abacci, do matemático italiano Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, ( http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-leonardo-de-pisa.html ) é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro contendo o número de ouro. Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): _Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida. Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

De uma forma mais simplificada podemos chegar ao numero de ouro e para isso vamos utilizar o seguinte processo: Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de A) , de maneira que a razão do segmento de reta mais pequeno (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC).

A razão entre os comprimentos destes segmentos designa-se habitualmente por seção
áurea. Então, tem-se que:

(AB) / (BC) = (BC) / (AC)

Pode-se então definir o número de ouro se fizer:

AB = y
BC = x
AC = x + y

O número de ouro vai ser a razão entre x e y:

y / x = x / ( x + y )

Se ainda substituir y por 1 tem-se:

1 / x = x / ( x + 1 )

Multiplicando ambos os lados por x ( x + 1 ), obtém-se:

x² - x - 1 = 0

Resolvendo esta equação quadrática, obtém-se as seguintes soluções:

x1 = ( 1 + raiz de 5 ) / 2
x2 = ( 1 - raiz de 5 ) / 2

Não se irá considerar o segundo valor (x2), tendo em conta que o comprimento de um polígono, nunca poderá ser negativo. Chega-se então, ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperado número de ouro Ф (Phi):

Ф = (1 mais a raiz de 5) divido por 2

Referências:
http://www2.tvcultura.com.br/artematematica/home.html
http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf