GRANDES MATEMÁTICOS - LEIBNIZ

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)

Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha, no dia 1o de julho de 1646. Ingressou na Universidade aos quinze anos de idade e, aos dezessete, já havia adquirido o seu diploma de bacharel. Estudou Teologia, Direito, Filosofia e Matemática na Universidade. Para muitos historiadores, Leibniz é tido como o último erudito que possuía conhecimento universal.

Aos vinte anos de idade, já estava preparado para receber o título de doutor em direito. Este lhe foi recusado por ser ele muito jovem. Deixou então Leipzig e foi receber o seu título de doutor na Universidade de Altdorf, em Nuremberg.

A partir daí, Leibniz entrou para a vida diplomática. Como representante governamental influente, ele teve a oportunidade de viajar muito durante toda a sua vida. Em 1672 foi para Paris onde conheceu Huygens que lhe sugeriu a leitura dos tratados de 1658 de Blaise Pascal se quisesse tornar-se um matemático. Em 1673, visitou Londres, onde adquiriu uma cópia do Lectiones Geometricae de Isaac Barrow e tornou-se membro da Royal Society. Foi devido a essa visita a Londres que apareceram rumores de que Leibniz talvez tivesse visto o trabalho de Newton, que por sua vez o teria influenciado na descoberta do Cálculo, colocando em dúvida a legitimidade de suas descobertas relacionadas ao assunto.

Sabemos hoje que isto não teria sido possível, dado que Leibniz, durante aquela visita a Londres, não possuía conhecimentos de geometria e análise suficientes para compreender o trabalho de Newton.

A partir daí, a Matemática estaria bastante presente nas descobertas de Leibniz. Em outra posterior visita a Londres, ele teria levado uma máquina de calcular, de sua invenção. Uma das inúmeras contribuições de Leibniz à Matemática, foi o estudo da aritmética binária, que segundo ele, havia sido utilizada pelos chineses e estaria presente no livro I Ching.

Como aconteceu com Newton, o estudo de séries infinitas foi muito importante no início de suas descobertas. Relacionando o triângulo de Pascal e o triângulo harmônico, Leibniz percebeu uma maneira de encontrar o resultado de muitas séries infinitas convergentes. A essa altura, ele voltou-se para o trabalho de Blaise Pascal - Traité des sinus du quart de cercle que lhe teria dado um importante insight: a determinação da tangente a uma curva dependia das diferenças das abscissas e ordenadas na medida em que essas se tornassem infinitamente pequenas e que a quadratura, isto é a área, dependia da soma das ordenadas ou retângulos infinitamente finos.

Esse insight levaria Leibniz em 1676 a chegar às mesmas conclusões a que havia chegado Newton alguns anos antes: ele tinha em mãos um método muito importante devido a sua abrangência. Independente de uma função ser racional ou irracional, algébrica ou transcendente - termo criado por Leibniz - as operações de encontrar "somas" (integrais) ou "diferenças" (diferenciais) poderiam ser sempre aplicadas. O destino havia reservado a Leibniz a tarefa de elaborar uma notação apropriada para estas operações, assim como a nomenclatura - Cálculo Diferencial e Cálculo Integral - ambas utilizadas atualmente.

O primeiro trabalho sobre Cálculo Diferencial foi publicado por Leibniz em 1684, antes mesmo do que Newton, sob o longo título Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur . Nesse trabalho apareceram as fórmulas:

d(xy) = xdy + ydx (derivada do produto)
d(x/y) = (ydx - xdy)/y² (derivada do quociente)
dxⁿ = nx^n-1

Dois anos mais tarde, Leibniz publicaria no periódico Acta Eruditorum , um trabalho sobre o Cálculo Integral. Nesse trabalho, apresenta-se o problema da quadratura como um caso especial do método do inverso das tangentes.

Além do Cálculo, Leibniz contribuiu para outras áreas da Matemática. Foi ele quem generalizou o teorema do binômio em Teorema do Multinômio, para expansões do tipo   (x + y + z)ⁿ. A primeira referência do método dos determinantes no mundo ocidental também foi feita por ele. Leibniz reelaborou e desenvolveu o conceito de lógica simbólica. Contribuiu também para a teoria de probabilidades e a análise combinatória.

O peso das descobertas e contribuições de Leibniz para o Cálculo e para a Matemática como um todo é tão grande que outras importantes áreas de atuação freqüentemente são deixadas de lado. Não obstante Leibniz é considerado também um dos sete filósofos modernos mais importantes.

Em Física, Leibniz acabou negando a teoria da gravitação de Newton pois acreditava que nenhum corpo podia entrar em movimento "naturalmente", a não ser através do contato com outro corpo que o impulsionaria. Ele também rejeitou os conceitos newtonianos de espaço e tempo absolutos. Junto com Huygens, Leibniz desenvolveu o conceito de energia cinética. Apesar de tudo, as suas contribuições para a ciência foram de certa forma obscurecidas por aquelas de Newton. Isto, entretanto, não o faz menos importante de Newton na descoberta do Cálculo. Na realidade Leibniz e Newton foram os dois maiores protagonistas na descoberta desta poderosa ferramenta matemática, o Cálculo.

É sabido que Leibniz era capaz de ficar sentado na mesma cadeira por vários dias pensando. Era um trabalhador incansável, um correspondente universal - ele tinha mais de 600 correspondentes. Era patriota, cosmopolita e um dos gênios mais influentes da civilização ocidental. Em julho de 1716 adoeceu, ficou então de cama até a sua morte, dia 14 de novembro em Hannover, Alemanha.

FONTE:  http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm

Grandes Matemáticos - LEONHARD EULLER

Leonhard Euller, matemático e físico que nasceu em uma cidade suÍça chamada Basileia, em 15 de abril de 1707 – São Petersburgo em 1783. Leonardo Euler, o maior matemático de todos os tempos, filho de Paul Euler e Margaret Brucker, teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena, uma família tradicionalmente dedicada a pesquisas científicas.

Ao completar um ano de idade seus pais mudaram-se para Riehen, perto de Basileia, cidade na qual passou maior parte da sua infância.

O fascínio pela matemática foi desenvolvido desde cedo por meio das aulas que seu pai lhe dava. Ao completar idade de ir para a escola foi levado para Basileia para ficar com a sua avó. Na escola pouco aprendeu sobre Matemática. Portanto, o fascínio não aconteceu na escola, o gosto que tinha ganho pela disciplina levou-o a estudar sozinho diversos livros de Matemática e a ter lições às escondidas.

Paul Euler, seu pai, que almejava a carreira de teólogo para o seu filho, colocou o jovem Leonhard na Universidade de Basileia para que pudesse seguir estudos de Teologia. Leonhard ingressou para a universidade em 1720, com 14 anos, para, primeiro, adquirir instruções geral e só após obter estudos mais avançados.

Em 1723 recebeu o grau de Mestre em Filosofia. E neste mesmo ano dá início ao curso de Teologia, satisfazendo assim os desejos de seu pai. Porém, embora tendo sido um cristão devoto, nunca sentiu a mesma admiração pela Teologia como sentia pela Matemática.

Neste sentido, ajudado por Jean Bernoulli, convenceu o seu pai a deixá-lo mudar para o curso de Matemática. Dessa, Euler recebeu uma instrução bastante sólida pois, estudou, além de Matemática, Medicina, Astronomia, Física e Línguas Orientais.

Em 1726 terminou os estudos na Universidade de Basileia. No ano seguinte foi indicado para o Grande Prêmio da Academia de Paris com uma produção sobre mastros de navios. Não garantiu o primeiro lugar, ficando com o segundo, posição esta que constituiu ao jovem matemático, um grande incentivo.

Em 1735, por meio da resolução de um problema chamado “problema da Basileia”, Euler recebe fama mundial. Trata-se de somar a série infinita dos inversos dos quadrados. Johann Bernoulli tinha lutado com este problema durante décadas, tendo desafiado matemáticos de todo o mundo. Euler desenvolve assim um novo método analítico para lidar com o problema. Mas o seu método permite também somar todas as séries infinitas do mesmo tipo em que o expoente é um número par.

Neste mesmo ano, Leonardo perdeu a visão de um olho, tendo como conseqüência um problema neurológico

A precocidade e o vivacidade de seus primeiros trabalhos despertaram o interesse dos principais matemáticos de sua época, como Jean Bernouilli e seus filhos, e converteram-no, aos vinte anos, em membro associado da Academia de Ciências de São Petersburgo, para onde se transferira. Por meio de livros e monografias que apresentou à Academia, Euler aprimorou os conhecimentos da época sobre cálculo integral, desenvolveu a teoria das funções trigonométrica e logarítmica e simplificou as operações relacionadas à análise matemática. Sua contribuição para a geometria analítica e para a trigonometria é comparável à de Euclides para a geometria plana. A tendência a expressar operações físicas e matemáticas em termos aritméticos incorporou-se desde então aos procedimentos das ciências exatas.

Assim, durante os anos seguintes, Euler consegue transformar a Matemática e a Física. Em seis anos produz trabalhos fundamentais em teoria dos números, séries, cálculo de variações, mecânica, entre muitos outros.

Após ganhar, por duas vezes, o Grande Prêmio da Academia de Paris, Euler recebeu o convite de Frederico, o Grande para fazer parte da Academia de Ciências da Prússia, sediada em Berlim. Recusou o convite de início mas, como a vida na Rússia para os estrangeiros não era fácil, Euler reconsiderou o pedido.

Partiu de S. Petersburgo dia 19 de Junho de 1741 e viveu 25 anos em Berlim, onde escreveu mais de 380 artigos.

A contribuição de Euler para a ciência matemática foi publicada em Berlim e teve como um de seus pilares a Introductio in analysim infinitorum (1748); Introdução à análise dos infinitos), obra que constitui um dos fundamentos da matemática moderna.

Uma outra obra de suas maiores contribuições foi ao nível das *notações*: * (...) numa exposição manuscrita dos seus resultados, escrita provavelmente em 1727 ou 1728, Euler usou a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a base do sistema de logaritmos naturais.

A Euler também se atribui o uso definitivo da letra grega p como notação para a razão da circunferência e para o diâmetro do círculo. Não foi o primeiro matemático a utilizá-la, pois há registo de uma outra ocorrência em 1706, mas foi o primeiro a reconhecer a sua importância e utilidade. A adaptação do símbolo p por Euler em 1737, e mais tarde em seus muitos e populares livros de texto, que o tornou largamente conhecido e usado (Boyer, 1974, p. 326) A introdução do símbolo i para Ö (-1) foi mais uma notação adotada em 1777, quase no fim da sua vida.

Euler como qualquer ser humano, tinha caído em desgraça junto de Frederico II, que lhe chamava “ciclope”, referência esta devido ao seu defeito físico. Desde 1735, Euler sofria de alguns problemas de saúde, como febres altas. Em 1738, veio a perdeu a visão do olho direito, devido ao excesso de trabalho. Mas tal infelicidade não diminuiu em nada a sua produção Matemática.

Euler produzir trabalhos de diferentes gêneros, como por exemplo, material para livros-textos para as escolas russas. Geralmente escrevia em latim, mas também em francês, embora a sua língua de origem fosse o alemão. Tinha uma enorme facilidade para línguas, como bom suíço que era, o que lhe facilitava muito a vida nas diversas viagens que fazia, como era costume dos matemáticos do século XVIII.

Em 1749, depois de 7 anos de trabalho e quase cem anos após a morte de Fermat, conseguiu provar a teoria de Fermat.

Em 1771, perdeu todos os seus manuscritos matemáticos, considerados seus verdadeiros bens, num incêndio na sua casa. No mesmo ano é operado às cataratas, o que lhe devolve a visão durante um breve período de tempo. Mas, por Euler não terá tomado os cuidados médicos necessários ficou completamente cego.

Euller considerado um ser de auto-superarão, pois apesar dele ter tido uma doença visual, na qual veio a ficar cego nos seus últimos quatorze anos, de forma impressionante, continuou com seus projetos científicos, que contou com além da sua fabulosa memória, com a ajuda de várias pessoas, entre elas, filhos Albrecht Euler ajudou-o na publicação de um trabalho com 775 páginas sobre o movimento da Lua, em 1772 e Fuss ajudou-o a preparar mais de 250 artigos, durante 7 anos, tornando-se mais tarde seu assistente.

Conseguiu produzir um número tão grande de artigos matemáticos, após a cegueira, que a Universidade onde trabalhava ficou quase 50 anos para publicar todo o material deixado por ele. Quando ele viu que estava ticando completamente cego

Portanto, a sua cegueira não foi problema para as suas pesquisas e publicações que continuaram até 1783, quando, aos 76 anos faleceu subitamente enquanto tomava chá com um dos seus netos.

Euler, é considerado o matemático mais produtivo na história da Matemática. Seu legado é de um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).

Suas produções foram tantas que durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida. Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.

Na matemática Euler apareça associado avarias invenções, teoremas e fórmulas. Como Por exemplo.

1) Fórmula de Euler do poliedro

2) Problema das sete pontes de Konigsberg

3) A “outra” formula de Euler

4) Equação de Euler-Lagrange

5) Equações de Euler da dinâmica dos fluidos

6) Densidade dos números primos

7) Função totiente de Euler

8) Integrais de Euler: Funções gama e beta

9) Equações de Euler da dinâmica dos corpos rígidos

10) Problema da Basiléia

11) Funções geratrizes e números de partição

12) Problema de 3 corpos de Euler

13) Ângulos de Euler

14) Constante de Euler-Mascheroni

15) Quadrados de Euler

16) A Formula de Euler

17) O Número Phi

Fontes: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/ambientedeensino/modulos/history/euler/euler.html
            http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
            http://www.somatematica.com.br/biograf/euler.php
            http://www.mirror.co.uk/news/uk-news/leonhard-euler-mathematicians-306th-birthday-1833422

Brinquedo de Gênio - O Quebra-Cabeça de Arquimedes

Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da física, inventor de engenhocas para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Arquimedes (287-212 a.C.) (http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-arquimedes-de.html) agora é apontado também como o possível inventor de um dos passatempos mais antigos do mundo.

De todos os seus feitos, o que levou mais fama foi a descoberta do empuxo. Conta-se que, enquanto tomava banho de banheira, o grego se deu conta de que o volume de seu corpo imerso deslocava para cima um volume de água de igual valor. Além disso, seu corpo imerso sofria a ação de uma força vertical, para cima - o empuxo -, de valor exatamente igual ao peso da água que era deslocada pelo seu corpo. Entusiasmado com a descoberta o gênio teria saído nu às ruas gritando "Eureca!" (descobri, em grego).

Arquimedes também deixou para a humanidade os benefícios do parafuso, das roldanas, das alavancas e invenções de ataque e defesa militares, como a catapulta. Como matemático, o grego é famoso pelos seus trabalhos e descobertas na geometria, como o cálculo do número "pi" e a medição de áreas de figuras geométricas.

Só que agora, investigando velhos pergaminhos e manuscritos, o historiador de matemática Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia, afirma que Arquimedes foi também pioneiro em análise combinatória, área que só ganhou mais incentivo e aplicação com os computadores, no século 20. Os matemáticos desse ramo procuram determinar de quantas maneiras um problema pode ser resolvido. E esses estudos podem ser aplicados na busca do melhor jeito de se realizar uma tarefa. Fazemos algo parecido, por exemplo, quando temos convidados para jantar e queremos saber de quantas formas eles podem ser distribuídos à mesa, e qual a melhor distribuição de pessoas nas cadeiras (quem ao lado de quem).

Os pergaminhos, depois de passar pelas mãos de vários povos da Idade Média, desaparecer várias vezes, ir parar em mosteiros em que monges os utilizaram para escrever orações, sumir de novo e sofrer a ação de mofos, foram reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador para separar o que seria original (transcrição do trabalho de Arquimedes) de ruídos (orações escritas, mofos etc.), a equipe liderada por Netz chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho inédito sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.

O trabalho descreve um quebra-cabeça que consiste em um quadrado fracionado em 14 partes. O objetivo do jogo é, depois de embaralhados, juntar esses 14 pedaços para formar novamente o quadrado ou ainda outras figuras conhecidas. O stomachion é parecido com o Tangram, mais difundido hoje, o desafio chinês de 7 peças.

Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter perdido seu tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses para crianças. Mas analisando os manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado. Hoje, essa é uma questão para os especialistas em análise combinatória responderem. E eles podem recorrer à ajuda de computadores. Netz propôs o problema para matemáticos atuais da área de combinatória e eles, depois de seis semanas, concluíram que a resposta é 17.152.

Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. E isso há 2.200 anos, enquanto descobria leis da natureza, relações geométricas e inventava máquinas. Ele só não se preocupou em proteger sua própria vida. Conta-se que, absorto em seus estudos, foi morto por um soldado romano durante a invasão de sua cidade, enquanto estudava e escrevia equações matemáticas nas areias da praia de Siracusa, na atual Sicília. Arquimedes teria se recusado a parar de estudar durante o cerco.

Fonte: KAWANO, Carmen. O quebra-cabeça de Arquimedes: pergaminhos revelam trabalho inédito do grego em Análise Combinatória. Revista Galileu, nº 151, Rio de Janeiro. Editora Globo. 2004. Disponível em http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT669583-2680,00.html