A ORIGEM DOS NÚMEROS

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.

Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.

Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.

O Início do processo de contagem

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.

A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.


Representação numérica

Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.

"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.

Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades. Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidades.

Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho.


Alguns símbolos antigos

No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:

Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.

Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.


O ábaco

O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas.

No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.

O Sistema de numeração Indo-Arábico

Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.

O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.

Notas históricas sobre a atual notação posicional

Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).

Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente.

Por muito tempo, estes algarismos foram denominados algarismos arábicos, de uma forma errada.

Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos.

Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.

Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual.

Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante.

Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.

Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades científicas e religiosas.

Notação Posicional

O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos sistemas dos egípcios e chineses.

No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no século I não existia a necessidade do número zero.

Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral.

Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor do número.

O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.

Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.

Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.

A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.

Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.

Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.

Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

GRANDES MATEMÁTICOS - René Descartes

Descartes, por vezes chamado de o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna, é considerado um dos pensadores mais influentes da história humana.Nasceu em La Haye, a cerca de 300 quilômetros de Paris. Seu pai, Joachim Descartes, advogado e juiz, possuía terras e o título de escudeiro, além de ser conselheiro no Parlamento de Rennes, na Bretanha.Com um ano de idade, Descartes perdeu a mãe, Jeanne Brochard, no seu terceiro parto, e foi criado pela avó. Seu pai se casou novamente e chamava o filho de "pequeno filósofo". Mais tarde, aborreceu-se com ele quando não quis exercer o direito, curso que concluiu na universidade de Poitiers em 1616.Em 1618, Descartes foi para a Holanda e se alistou no exército de Maurício de Nassau. A escola militar era, para ele, uma complementação da sua educação. Nessa época fez amizade com o duque filósofo, doutor e físico Isaac Beeckman, e a ele dedicou o "Compendium Musicae", um pequeno tratado sobre música.Em 1619, viajou para a Dinamarca, Polônia e Alemanha, onde, segundo a tradição, no dia 10 de novembro, teve uma visão em sonho de um novo sistema matemático e científico. Três anos depois retornou a França e passou os anos seguintes em Paris e em outras partes da Europa.Em 1628, Descartes, incentivado pelo cardeal De Bérulle, escreveu "Regras para a Direção do Espírito". Buscando tranqüilidade, partiu para os Países Baixos, onde viveu até 1649.Em 1629 começou a trabalhar em "Tratado do Mundo", uma obra de física. Mas em 1633, quando Galileu foi condenado pela igreja católica, Descartes não quis publicá-lo. Em 1635 nasceu sua filha ilegítima, Francine, que morreria em 1640.Em 1637, publicou anonimamente "Discurso sobre o Método para Bem Conduzir a Razão a Buscar a Verdade Através da Ciência". Os três apêndices desta obra foram "A Dióptrica" (um trabalho sobre ótica), "Os Meteoros" (sobre meteorologia), e "A Geometria" (onde introduz o sistema de coordenadas que ficarioa conhecido como "cartesianas", em sua homenagem). Seu nome e suas teorias se tornaram conhecidos nos círculos ilustrados e sua afirmação "Penso, logo existo" (Cogito, ergo sum) tornou-se popular.Em 1641, surgiu sua obra mais conhecida: as "Meditações Sobre a Filosofia Primeira", com os primeiros seis conjuntos de "Objeções e Respostas". Os autores das objeções foram Johan de Kater; Mersene; Thomas Hobbes; Arnauld e Gassendi. A segunda edição das Meditações incluía uma sétima objeção, feita pelo jesuíta Pierre Bourdin, seguida de uma "Carta a Dinet".Em 1643, a filosofia cartesiana foi condenada pela Universidade de Utrecht (Holanda) e, acusado de ateísmo, Descartes obteve a proteção do Príncipe de Orange. No ano seguinte, lançou "Princípios de Filosofia", um livro em grande parte dedicado à física, o qual ofereceu à princesa Elizabete da Boêmia, com quem mantinha correspondência.Uma cópia manuscrita do "Tratado das Paixões" foi enviada para a rainha Cristina da Suécia, através do embaixador francês. Frente a insistentes convites, Descartes foi para Estocolmo em 1649, com o objetivo de instruir a rainha de 23 anos em matemática e filosofia.O horário da aula era às cinco horas da manhã. No clima rigoroso, sua saúde deteriorou. Em fevereiro de 1650, ele contraiu pneumonia e, dez dias depois, morreu.Em 1667, depois de sua morte, a Igreja Católica Romana colocou suas obras no Índice de Livros Proibidos.

Obras Principais:



Entre 1629 e 1633, Descartes redige o Tratado do Mundo, mas não o publica por receio da Inquisição, que acabara de condenar Galileu. A primeira obra de Descartes teve como título “Essays Philosophiques”. A introdução ficou mais famosa que a própria obra: O discurso do método, onde, na quarta seção, encontra-se sua frase mais famosa - "Penso, logo existo".Nos anos seguintes, produziu as seguintes obras:- 1641 - Meditações sobre a filosofia Primeira; Objeções e Respostas.- 1644 - Princípios da Filosofia.- 1647/48 - Descrição do Corpo Humano.- 1649 - As Paixões da Alma.

GRANDES MATEMÁTICOS - François Viète

François Viète , quando em 1575, Maurolico e Commandino morreram, a Europa Ocidental tinha recuperado a maior parte das principais obras matemáticas da antigüidade agora existentes. A álgebra árabe fora perfeitamente dominada e tinha sido aperfeiçoada, tanto pela resolução das cúbicas e quárticas quanto por um uso parcial de simbolismo; e a trigonometria se tomara uma disciplina independente. A época estava quase madura para rápidos progressos além das contribuições antigas, medievais e renascentistas - mas não completamente.
Há na história da matemática um alto grau de continuidade de um período para o seguinte; a transição da Renascença para o mundo moderno também se fez através de um grande número de figuras intermediárias, das quais consideraremos agora algumas das maisimportantes. Dois desses homens, Galileu Galilei (1564-1642) e Boaventura Cavalieri (1598-1647) vieram da Itália; vários outros, como Henry Briggs (1561-1639), Thomas Harriot (1560-1621), e Wiliam Oughtred (1574-1660) eram ingleses; dois deles, Simon Stevin (1548-1620) e Albert Girard (1590-1633) eram flamengos; outros vieram de vários países - John Napier (1550-1617) da Escócia, Jobst Bürgi (1552-1632) da Suíça, e Johann Kepler (1571-1630) da Alemanha. A maior parte da Europa Ocidental participava agora do desenvolvimento da matemática, mas a figura central e mais magnífica na transição foi um francês, François Viète.
Viète não era matemático por vocação. Na juventude ele estudou e praticou direito, tomando-se membro do parlamento da Bretanha; mais tarde tomou-se membro do conselho do rei, servindo primeiro sob Henrique III, depois sob Henrique IV (Navarra). Foi enquanto servia a esse último, Henrique de Navarra, que teve tanto sucesso ao decifrar as mensagens em códigos do inimigo, ao ponto que os espanhóis o acusaram de ter um pacto com o demônio.
Só o tempo de lazer de Viète era dedicado á matemática, no entanto fez contribuições á aritmética, álgebra, trigonometria e geometria. Houve um período de quase meia dúzia de anos, antes da ascensão de Henrique IV, em que Viète esteve em desfavor, e esses anos ele dedicou em grande parte a estudos matemáticos. Na aritmética, ele deve ser lembrado por seu apelo em favor do uso de frações decimais em lugar de sexagesimal. Em uma de suas primeiras obras, o "Canon-mathematicus'' de 1579, ele escreveu:
"Sexagesimal e múltiplos de sessenta devem ser pouco, ou nunca, usados, e milésimos e milhares, centésimos e centenas, décimos e dezenas, e progressões semelhantes ascendentes e descendentes, usadas freqüentemente ou exclusivamente''.
Nas tabelas e cálculos ele seguiu sua regra e usou frações decimais. Ocasionalmente ele usava uma barra vertical para separar as partes inteiras e fracionárias, como por exemplo quando escreve que o apótema do polígono regular de 96 lados, num círculo de diâmetro 200000 é aproximadamente 99946458,75. O uso de uma vírgula decimal para separatriz é atribuído em geral a G.A. Magini (1555-l6l7), um cartógrafo amigo de Kepler e rival de Galileu como candidato a uma cátedra em Bolonha, em seu "De planis triangulis'' de 1592, também seja a Christopher Clavius (1537-1612), um jesuíta amigo de Kepler, utilizam esta notação numa tabela de senos em 1593. Mas o ponto decimal só se tomou popular quando Napier o usou mais de vinte anos depois.
Conceito de parâmetro.
Sem dúvida foi á álgebra que Viète deu suas mais importantes contribuições, pois foi aqui que chegou mais perto das idéias modernas. A matemática é uma forma de raciocínio, e não uma coleção de truques, como Diofanto possuíra; no entanto a álgebra durante o tempo dos árabes e o começo do período moderno não tinha ido longe no processo de libertação do uso de tratar casos particulares. Não poderia haver grande progresso na teoria da álgebra enquanto a preocupação principal fosse a de encontrar a "coisa'' numa equação com coeficientes numéricos específicos.
Tinham sido desenvolvidos símbolos e abreviações para uma incógnita e suas potências, bem como para operações e a relação de igualdade. M. Stifel (1486 - 1567) tinha ido ao ponto de escrever asas para indicar a quarta potência de uma quantidade incógnita; no entanto não tinha um esquema para escrever uma equação que pudesse representar uma qualquer dentre uma classe toda de equações, dentre todas as quadráticas, por exemplo, ou dentre todas as cúbicas. Um geômetra num diagrama, poderia fazer ABC representar todos os triângulos, mas um algebrista não tinha um esquema correspondente para escrever todas as equações de segundo grau.
Desde os dias de Euclides que letras tinham sido usadas para representar grandezas, conhecidas ou desconhecidas, e Jordanus fizera isso constantemente; mas não havia meios de distinguir grandezas supostas conhecidas das quantidades desconhecidas que devem ser achadas. Aqui Viète introduziu uma convenção tão simples quanto fecunda. Usou uma vogal para representar, em álgebra, uma quantidade suposta desconhecida, ou indeterminada, e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados. Aqui encontramos, pela primeira vez na álgebra, uma distinção clara entre o importante conceito de parâmetro e a idéia de uma quantidade desconhecida.
Se Viète tivesse adotado outros simbolismos já existentes em seus dias, ele poderia ter escrito todas as equações quadráticas na forma única BA2 + CA + D = 0, onde A é a incógnita e B, C e D são parâmetros; mas infelizmente ele só era moderno em alguns aspectos, em outros era antigo e medieval.
A arte analítica.
Sua álgebra é fundamentalmente sincopada e não simbólica, pois embora ele sensatamente adotasse os símbolos germânicos para adição e subtração, e ainda mais sensatamente usasse símbolos diferentes para parâmetros e incógnitas, o resto de sua álgebra consistia de palavras e abreviações.
A terceira potência da quantidade incógnita não era A3, ou mesmo AAA, mas A cubus, e a segunda potência era A quadratus. A multiplicação era denotada pela palavra latina "in'', a divisão pela barra de fração, e para a igualdade Viète usava uma abreviação para a palavra latina a "equalis''. Não é dado a um só homem fazer toda uma dada transformação; ela deve vir em passos sucessivos.
Um dos passos além da obra de Viète foi dado por Harriot quando reavivou a idéia que Stifel já tivera de escrever o cubo da incógnita como AAA. Essa notação foi usada sistematicamente por Harriot em seu livro póstumo intitulado - "Artis Analyticae Praxis'' -. e impresso em 1631. Seu título tinha sido sugerido por uma obra anterior de Viète, que não gostava da palavra árabe álgebra.
Ao procurar uma outra palavra, Viète observou que em problemas envolvendo a "cosa'' ou quantidade incógnita geralmente se procede do modo que Pappus e os antigos haviam descrito como análise. Isto é, em vez de raciocinar a partir do que é conhecido para o que se deve demonstrar, os algebristas invariavelmente raciocinavam a partir da hipótese que a incógnita foi dada, e deduziam uma conclusão necessária da qual a incógnita pode ser determinada.
Em símbolos modernos, se queremos resolver x2 - 3x + 2 = 0, por exemplo, partimos da premissa de que existe um valor de x que satisfaz á equação; dessa hipótese tiramos a conclusão necessária que (x - 2)(x -1) = 0 de modo que está satisfeita (x - 2) = 0 ou (x - 1) = 0 (ou ambas as coisas), logo que necessariamente x é 2 ou 1.
No entanto, isso não significa que um, ou ambos, desses números satisfazem a equação a menos que se possa inverter os passos do desenvolvimento do raciocínio. Isto é, a análise deve ser seguida de demonstração sintética.
Tendo em vista o tipo de raciocínio tão freqüentemente usado na álgebra, Viète denominou o assunto "a arte analítica''. Além disso, ele percebia claramente o largo alcance do assunto, vendo que a quantidade desconhecida não precisava ser nem número nem segmento de reta. A álgebra raciocina sobre "tipos'' ou "espécies'', por isso Viète estabeleceu contraste entre logística especiosa1 '' e "logística numerosa''. Sua álgebra foi exposta na "Isagoge'' (ou Introdução), impressa em 1591, mas suas várias outras obras sobre álgebra só apareceram vários anos após sua morte.
Em todas ele conservou um princípio de homogeneidade nas equações, de modo que numa equação como x3 +3ax = b, onde a é designado como "planum'' e b como "solidum''. Isso sugere uma certa inflexibilidade, que Descartes removeu uma geração mais tarde; mas a homogeneidade tem também algumas vantagens, como Viète certamente percebeu.
Relação entre raízes e coeficientes.
A álgebra de Viète merece atenção pela generalidade de sua expressão, por exemplo, Viète sugeriu um novo modo de resolução equações cúbicas. Depois de reduzi-las à forma padrão equivalente x3 +3ax = b, ele introduziu uma nova quantidade desconhecida y relacionada com x pela equação y2 + xy = a. Isso transforma a cúbica em x numa equação quadrática em termos de y3, cuja solução se obtém facilmente. Além disso, Viète percebia algumas das relações entre raízes e coeficiente de uma equação, embora fosse prejudicado por sua recusa em aceitar coeficientes ou raízes negativos. Ele percebia, por exemplo, que se x2 + b = 3ax tem duas raízes positivas, x' e x'', então 3a = x'2 + x'x'' + x''2 e b = x'x''2 + x'' x2. Isso, é claro, é um caso particular de nosso teorema que diz que:
"o coeficiente do termo em x, numa cúbica com primeiro coeficiente um, é a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas, e o termo constante é o oposto do produto das raízes''.
Em outras palavras, Viète chegou perto das funções simétricas das raízes na teoria das equações. Coube a Girard em 1629, em "Invention nouvelie en l'algèbre'', enunciar claramente as relações entre raízes e coeficientes, pois ele admitiu raízes negativas e imaginárias, ao passo que Viète reconhecia apenas as raízes positivas. De um modo geral Girard percebia que as raízes negativas são orientadas em sentido oposto ao dos números positivos, antecipando assim a idéia de reta numérica, ele disse:
"O negativo em geometria indica um retrocesso, ao passo que o positivo é um avanço''.
Parece que a ele também se deve a percepção de que uma equação pode ter tantas raízes quanto indica o grau da equação. Girard conservou as raízes imaginárias das equações porque elas exibem os princípios gerais na formação de uma equação a partir de suas raízes.

1.- Especioso: (a) De aparências enganadoras; ilusório, enganoso. (b) Que, com aparência de

verdade, induz em erro.

Fonte: http://es.geocities.com/christianjqp1/especial/biografia/viete1.htm

GRANDES MATEMÁTICOS - Leonardo de Pisa ( Fibonacci )

Fibonacci ou Leonardo de Pisa

(1180-1250)



Fibonacci (filho de Bonaccio) foi um dos matemáticos mais importantes da idade média. Na idade média havia dois tipos de matemáticos, os de escolas religiosas ou de universidades e os que exerciam actividades de comercio e negócios. É aliás neste último grupo que Fibonacci se insere, como veremos mais adiante. Havia também neste período uma grande rivalidade entre os ‘abacistas’ - aqueles que eram especialistas em cálculo com o ábaco - e os ‘algoritmistas’ - aqueles que privilegiavam o cálculo através de algoritmos baseados no algarismo-zero. Nos ‘agoritmistas’, um dos percursores mais notáveis foi Fibonacci.
Fibonacci nasceu por volta de 1180 em Pisa, uma das primeiras cidades comerciais italianas e que manteve um comércio florescente com o mundo árabe. O pai de Fibonacci era um mercador que trabalhou no norte de África, pelo que cedo Fibonacci foi iniciado nos negócios e nos cálculos, o que despertou o seu interesse pela matemática. Além disso, foi através da profissão do pai que ele teve o primeiro contacto com o sistema decimal hindu-árabe. Nesta altura, era ainda utilizada a numeração romana em Itália.
Foi no seu regresso a Pisa, em 1202, que Fibonacci escreveu a sua obra mais célebre, "Liber Abaci", que foi também um meio através do qual a numeração hindu-árabe foi introduzida na Europa Ocidental. No "Liber Abaci" explicava-se como utilizar estes numerais nas operações aritméticas, abordavam-se diversos temas de álgebra e geometria, e também propunham-se vários problemas. Escreveu também o livro "Practica Geometriae" em 1220; onde descreveu aquilo que tinha descoberto nas áreas de geometria e trigonometria.
O nome de Fibonacci tornou-se conhecido devido a um problema que existia no seu livro "Liber Abaci", que é o problema dos coelhos. A solução deste problema é uma sequência numérica e um matemático francês, Edouard Lucas, ao editar um trabalho seu, ligou o nome de Fibonacci a essa sequência.

fonte: http://www.educ.fc.ul.pt

GRANDES MATEMÁTICOS - AL-KHWARIZMI

Abu Ja'far Mohamed [ou Muhammad] ibn Musa al-Khwarizmi

(780 - 850)

Brilhante matemático e astrônomo persa-muçulmano nascido provavelmente na região de Khwarizm, sul do mar de Aral, na Ásia central, descobridor do Sistema de Numeração Decimal e dos dez símbolos, que hoje são conhecidos como algarismos indo-arábicos, e introdutor desses numerais e dos conceitos da álgebra na matemática européia.

O Califa al-Mamum ocupava o trono do Ímpério Árabe e decidiu transformar seu reino em um grande centro de ensino onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento, originando a primeira época áurea da ciência islâmica. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.

Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos.

Vivendo sob os califados de al-Mamun e al-Mutasim, de sua vida anterior a Bagdá pouco se sabe, porém escreveu principalmente sobre astronomia, geografia e matemática. Da importância de sua obra também se originou a palavra álgebra (al-jabr = reunir).

Seu extraordinário trabalho sobre matemática elementar Kitab Al-jabr w'al-mukabalah (A arte de reunir desconhecidos para igualar ao conhecido, 820), uma compilação de regras para solução aritmética de equações lineares e de segundo grau, baseado nos trabalhos de Diofante, foi traduzido no século XII para o latim e quando deu origem ao termo álgebra. Encarregado de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia, numa dessas traduções o matemático se deparou com aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática: O Sistema de Numeração Decimal.

Ele ficou tão impressionado com a utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema. Este importante trabalho (825) foi preservado numa tradução latina Algoritmi de numero Indorum (975), um texto sobre a arte hindu de calcular, obra que divulgou os símbolos e o sistema numérico indo-arábico.

Este livro introduziu bibliograficamente na Europa, o sistema numérico dos hindus, que passou a ser conhecido como algarismos arábicos, além de importantes conceitos algébricos. Deste texto surgiu o termo algorítimo.

Também compilou tabelas astronômicas, baseadas no Sind-hind, versão árabe do original sânscrito Brahma-siddhanta (século VII da era cristã).

O termo algarismo vem de al-Khowarizmi, usado para denominar os símbolos de 0 a 9, uma homenagem a esse matemático árabe que mostrou a humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos.

(Fonte: Site Só Biografias : http://www.sobiografias.hpg.com.br )

GRANDES MATEMÁTICOS - DIOFANTE DE ALEXANDRIA

Diofante ou Diofanto de Alexandria é considerado como o maior algebrista grego. Na história da Aritmética que este autor desempenha um papel semelhante ao que Euclides (360-295 a. c.) tem na Geometria e Ptolomeu (85-165) na Astronomia.
À semelhança de outros matemáticos, pouco se sabe relativamente à sua vida. Desconhece-se a data precisa em que Diofanto nasceu. No entanto, através da leitura dos seus escritos, nos quais cita Hipsicles (240-170 a. c.), e também por uma passagem de Théon de Alexandria (335-395), que cita Diofanto como um clássico, é possível marcar limites temporais que permitem situar a vida deste autor entre o século II a. c. e o princípio do século IV da nossa era. De acordo com P. Tannery deve-se considerar Diofanto como contemporâneo de Papus (290-350) e pertencendo à segunda metade do século III. Por outro lado, atendendo a que na parte da aritmética da mutilada obra de Papus não é mencionado o nome de Diofanto, sendo, no entanto citados, não só diversos outros geômetras da época, mas também quase todos os matemáticos do seu tempo [Héron (10-75), Nicómaco (60-120), Théon e Ptolomeu], talvez o notável matemático de que falamos possa ser um pouco posterior a Papus.
A história conservou poucos dados biográficos de Diofanto. Tudo o que se conhece a seu respeito encontra-se num epigrama que figura no seu túmulo e que está escrito sob a forma de um enigma Matemático. Ele aqui está tal como o encontramos formulado na "Álgebra Recreativa", de Y. I. Perelman, Ed. Mir, Moscovo, 1989.
No Seu Epitáfio estão os seguintes versos:
“Caminhante! Aqui estão sepultados os restos de Diofanto. E os números podem mostrar quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte foi a sua bela infância.
Tinha decorrido mais uma duodécima parte de sua vida, quando seu rosto se cobriu de pelos.
E a sétima parte de sua existência decorreu com um casamento estéril.
Passou mais um qüinqüênio e ficou feliz com o nascimento de seu querido primogênito,
Cuja bela existência durou apenas metade da de seu pai,
Que com muita pena de todos desceu à sepultura quatro anos depois do enterro de seu filho.
Diga quantos anos tinha Diofanto quando morreu?”

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt

PS.: Se você ainda não descobriu o valor que determina com quantos anos Diofante morreu, a resposta é 84 anos.

GRANDES MATEMÁTICOS - BHÁSKARA

Bháskara

Bhaskara foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano nascido em Vijayapura (1114-1185), Índia, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo, dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell* e a solução do problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito. Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta que ali tinham trabalhado e construído uma escola forte de astronomia matemática. Suas obras representaram a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho reivindicado para ele é por muitos historiadores para ser uma falsificação posterior.
Os seis comprovados são Lilavati, Bijaganita, Siddhantasiromani, Vasanabhasya of Mitaksara, Karanakutuhala ou Brahmatulya e Vivarana Em Siddhantasiromani, dois volumes sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia, apresentou as expressões sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b e sen(a - b) = sen a cos b - cos a sen b.
Ø Siddhantasiromani, dedicado a assuntos astronômicos é dividido em duas partes:
· Goladhyaya ( Esfera Celeste );
· Granaganita ( Matemática dos Planetas );
Ø Bijaganita que é um livro sobre Álgebra [ os indianos foram os pais da Álgebra e a chamavam de Outra (= Bija ) Matemática ( = Ganita), pois nasceu depois da matemática tradicional que se dedicava aos cálculos aritméticos e geométricos ].Bhaskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações. Embora não traga nenhuma novidade quanto à resolução das equações determinadas, ele traz muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos, é exatamente nas suas descobertas em equações indeterminadas que reside sua importância histórica.
Seu tratado mais conhecido é Lilavati (1150), nome de uma sua filha, um livro com numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas, tanto determinadas como indeterminadas mensurações lineares e de áreas e volumes, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríades pitagóricas e outros. Por exemplo, mostrou a solução para as equações indeterminadas considerando o problema da divisão por zero e a demonstração de forma simplificada do teorema de Pitágoras, além de apresentar tabelas de senos com intervalos de um grau. Definiu valores para p da seguinte forma: 3927/1250 para cálculos acurados, 22/7 para aproximações e raiz quadrada de 10 para exercícios corriqueiros.
Conta à história que “quando Lilavati nasceu, Bhaskara consultou as estrelas e verificou, pela disposição dos astros, que sua filha, condenada a permanecer solteira toda a vida, ficaria esquecida pelo amor dos jovens patrícios. Não se conformou Bhaskara com essa determinação do Destino e recorreu aos ensinamentos dos astrólogos mais famosos do tempo. Como fazer para que a graciosa Lilavati pudesse obter marido, sendo feliz no casamento? Um astrólogo, consultado por Bhaskara, aconselhou-a a casar Lilavati com o primeiro pretendente que aparecesse, mas demonstrou que a única hora propícia para a cerimônia do enlace seria marcada, em certo dia, pelo cilindro do Tempo”.
Os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro, aberto apenas em cima, apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base. À proporção que a água, entrando pelo orifício da base, invadia lentamente o cilindro, este afundava no vaso e de tal modo que chegava a desaparecer por completo em hora previamente determinada.
Lilavati foi, afinal, com agradável surpresa, pedida em casamento por um jovem rico e de boa casta. Fixado o dia e marcada a hora, reuniram-se os amigos para assistir à cerimônia.
Bhaskara colocou o cilindro das horas e aguardou que a água chegasse ao nível marcado. A noiva, levada por irreprimível curiosidade, verdadeiramente feminina, quis observar a subida da água no cilindro. Aproximou-se para acompanhar a determinação do Tempo. Uma das pérolas de seu vestido desprendeu-se e caiu no interior do vaso. Por uma fatalidade, a pérola levada pela água foi obstruir o pequeno orifício do cilindro, impedindo que nele pudesse entrar a água do vaso. O noivo e os convidados esperaram com paciência largo período de tempo. Passou-se a hora propícia sem que o cilindro indicasse o tempo como previra o sábio astrólogo. O noivo e os convidados retiraram-se para que fosse fixado, depois de consultados os astros, outro dia para o casamento. O jovem brâmane, que pedira Lilavati em casamento, desapareceu semanas depois e a filha de Bhaskara ficou para sempre solteira.
Reconheceu o sábio geômetra que é inútil contra o Destino e disse à sua filha:
-- Escreverei um livro que perpetuará o teu nome e ficarás na lembrança dos homens mais do que viveriam os filhos que viessem a nascer do teu malogrado casamento.”“.
O livro Lilavati, na verdade, é a quarta parte do livro Siddhanta Siroman. Enquanto Lilavati (A Bela) trata de aritmética, as outras três partes são Bijaganita (Contagem de sementes), álgebra, Grahaganita, sobre Matemática planetária e Goladhyaya, sobre o globo celeste.
O Lilavati é escrito em 278 versos e trata de vários assuntos: tabelas, o sistema de numeração, as oito operações, frações, zero, regra de três, regra de três composta, mistura, porcentagens, progressões, geometria, medidas, pilhas, problemas geométricos de sombras, modificação da Kuttaka (a equação ax+c=by), da varga prakrit (a equação nx^2 + 1 = y^2, com n inteiro positivo, também conhecida como equação de Pell) e permutações. (apud Siddhanta Siroman, acedido em 00/11/15).
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher ( a tradução é Graciosa ), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética.
Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
Chamamos assim às equações ( polinomiais e de coeficientes inteiros ) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:
v y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções, qualquer que seja o valor de a
v a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala ( ou pulverizador ).
Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula, já que estas surgiram 400 anos após a sua morte.
Naquela época, como eram resolvidas as equações? Usando REGRAS!
Chamamos de regra a uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo, uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema.A partir de Aryabhata 500 d.C., e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau. Entre essas, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:
EXEMPLO: Para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
"multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso”.
É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver:
x2 = px + q e x2 + px = q.
Foi só na Era das Fórmulas, inaugurada com a Logística Speciosa de François Viète c. 1 600 d.C., que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida formula de resolução da equação do 2ºgrau.
Um problema de aritmética do livro Lilavati
“A quinta parte de um enxame de abelhas pousou numa flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre estes dois números, voa sobre uma flor de Krutaja. E uma abelha sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus.
Diz-me, bela menina, qual é o número das abelhas?”[1]

Fonte: [1]: http://www.cefetsp.br/edu/guerato/matematica_biografias.htm

GRANDES MATEMÁTICOS - HIPÓCRATES DE QUIOS

Hipócrates de Quios

(c. 470--c. 410 a.C.)

Hipócrates de Quios foi um matemático grego do Séc. V a.C. que se estabeleceu em Atenas, onde ensinava. pensa-se que Hipócrates terá escrito o livro Elementos ( que é título de todos os tratados axiomáticos gregos, incluindo o de Euclides). na verdade, a sua obra já se situa naquilo a que podemos chamar tradição euclidiana ( apesar de preceder Euclides em mais de um século).

As contribuições geométricas atribuídas a Hipócrates são importantes, destacando-se as investigações relacionadas com os problemas clássicos gregos. Na realidade, o principal objecto de estudo neste período, era três famosos problemas matemáticos:

• 
  
  
  a trissecção do ângulo, ou seja, o problema de dividir um ângulo dado em três partes iguais;



• 
  
  
  a duplicação do cubo, ou seja, encontrar o lado do cubo do qual o volume é o dobro do volume de um cubo dado;



• 
  
  
  a quadratura do círculo, ou seja, encontrar um quadrado de área igual á de um círculo dado.
  

Hipócrates de Quios debruçou-se principalmente no estudo dos dois últimos problemas. para além destes problemas, é ainda importante referir que este matemático demonstrou também o seguinte problema:

"se sobre os lados de um triângulo rectângulo [ABC], como diâmetros se descrevem semi-circunferências para o exterior do triângulo e mesmo lado de [BC], então a soma das áreas das lúnulas, compreendidas entre as semi-circunferências, é igual à área do triângulo rectângulo dado".

Hipócrates de Quios foi o primeiro a aplicar o método da redução geométrica e a usar letras nas figuras geométricas. [1]

O livro de Hipocrátes também apresentava soluções para equações do segundo grau e métodos rudimentares de integrais.

[1] fonte: http://www.cefetsp.br/edu/guerato/matematica_biografias.htm

GRANDES MATEMÁTICOS - ARQUIMEDES DE SIRACUSA

Pintura de Domenico Fetti (1620)

Arquimedes de Siracusa

(287 a.C. - 212 a.C.)

Um problema preocupava Hierão, tirano de Siracusa, no século III a.C.: havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade, mas suspeitava que o ourives o enganara, não utilizando ouro maciço em sua confecção. Como descobrir, sem danificar o objeto, se seu interior continha uma parte feita de prata? Só um homem talvez conseguisse resolver a questão: seu amigo Arquimedes, famoso matemático e inventor de vários engenhos mecânicos. Hierão mandou chamá-lo e pediu-lhe urna resposta que pusesse fim à sua dúvida. Arquimedes aceitou a incumbência e pôs-se a procurar a solução para o problema. Esta lhe ocorreu durante o banho. Observou que a quantidade de água que se elevava na banheira, ao submergir, era equivalente ao volume de seu próprio corpo. Ali estava a chave para resolver a questão proposta pelo tirano. No entusiasmo da descoberta, Arquimedes saiu nu pelas ruas, gritando: Eureka! Eureka! ("Achei! Achei!").

Agora, bastava aplicar o método que descobrira. Mediu então a quantidade de água que transbordava de um recipiente cheio, quando nele mergulhava, sucessivamente, o volume de um peso de ouro igual ao da coroa, o volume de um peso de prata igual ao da coroa e o volume da própria coroa. Este, sendo intermediário aos outros dois, permitia determinar a proporção de prata que fora misturada ao ouro.
Essa passagem parece ser uma das muitas lendas que, desde a Antiguidade, envolveram a vida de Arquimedes. Na verdade, para resolver um problema daquele tipo, relativo à determinação do peso específico de um metal, ele precisava apenas aplicar o princípio que rege o fenômeno do empuxo (força vertical que empurra para cima um corpo imerso em um fluido). Esse princípio - que explica porque um navio flutua na água e porque um aeróstato sobe no ar - foi estabelecido por Arquimedes nos seus dois livros, Sobre os corposflutuantes, com os quais inaugurou um novo ramo da ciência física: a hidrostática. No primeiro daqueles dois livros, ele enuncia o princípio que se tornou conhecido como "princípio de Arquimedes": "Um sólido mais pesado que o fluido em que está imerso vai para o fundo do fluido, e se é pesado dentro do fluido ele será mais leve que seu verdadeiro peso, de um peso igual ao fluido deslocado". Entretanto, essa conclusão não era, de modo algum, fruto de um súbito "estalo". Representava o coroamento de uma longa tradição científica que, desde o século VI a.C., desenvolvera as pesquisas matemáticas e buscava uma explicação racional para os diferentes fenômenos observados. A glória de Arquimedes consistiu, porém, em não apenas fazer avançar as matemáticas abstratas - ampliando as conquistas dos grandes matemáticos do passado, como Pitágoras, Tales, Árquitas de Tarento, Eudoxo e Euclides -, mas em ser igualmente um grande físico, engenheiro e técnico genial: inventava e fabricava aparelhos destinados às suas próprias pesquisas, e criava inclusive máquinas de guerra temíveis por sua efícácia. Representando o apogeu da ciência grega, é considerado o precursor do método experimental nas ciências fisico-matemáticas.

Filho do astrônomo Fídias, Arquimedes nasceu em 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que então fazia parte da Grécia ocidental ou Magna Grécia. Embora os dados fantasiosos permeiem todos os informes sobre sua vida, parece certo que estudou em Alexandria (Egito), um dos grandes centros culturais da época. Ali teria conhecido Euclides, já velho, e seus discípulos imediatos; e o matemático Canon de Samos, de quem se tornou amigo. Não é certo, porém, que ali tivesse criado o chamado "parafuso de Arquimedes", empregado para retirar água das minas do Egito. Na verdade, esse aparelho já existia, ao que parece, há bastante tempo, sendo utilizado para tirar água do Nilo.
Reduzindo o equilíbrio de forças a um simples problema geométrico, estudou o equilíbrio dos sólidos, o funcionamento da alavanca e o movimento dos corpos celestes, além de ter organizado uma coleção - a mais completa da Antiguidade - de figuras planas com os centros de gravidade perfeitamente localizados. Além disso, também procurava utilidades práticas para suas descobertas. Extraordinário engenheiro, construiu, segundo depoimento de Cícero (106 - 43 a.C.), um planetário que reproduzia os diferentes movimentos dos corpos celestes; e um aparelho para medir as variações do diâmetro aparente do Sol e da Lua, um protótipo do modelo, mais requintado, que será construído pelo astrônomo Hiparco, no século II a.C.

Atribui-se ainda a Arquimedes a idealização dos célebres "espelhos ustórios" (ustório = que queima, que facilita a combustão), espelhos curvos com os quais os defensores de Siracusa teriam queimado a distância - pela concentração dos raios solares - os navios romanos que sitiavam a região. Se tal fato pertence ao lado lendário de sua biografia, parece entretanto não haver dúvida de que Arquimedes, depois de colaborar com seus engenhos bélicos para a defesa de sua cidade natal, foi morto durante o massacre que se seguiu à tomada de Siracusa pelo cônsul romano Marco Cláudio Marcelo, em 212 a.C. Atendendo a um pedido do sábio, foi colocada em seu túmulo uma coluna na qual fora gravado um cilindro circunscrito a uma esfera, para comemorar a maneira pela qual calculou a área de uma superfície esférica.

Segundo consta, Arquimedes teria dito a Hierão: "Dêem-me um ponto de apoio e eu levantarei a Terra". Não era a pretensão de se comparar ao mitológico e super humano Héracles - que os romanos chamarão de Hércules -, divindade símbolo da força. Era a certeza matematicamente garantida - de que o princípio da alavanca, que ele havia estabelecido, representava extraordinário recurso prático para a multiplicação de uma força.

Tradicionalmente, a geometria grega vinha investigando processos de transformação de figuras curvas em retas, equivalentes. A quadratura do círculo, por exemplo, constituía um problema que vários matemáticos procuraram resolver. Arquimedes dedicou-se profundamente a esse tipo de questão - e um dos seus principais livros sobre Matemática intitulou-se justamente Tratado da quadratura da parábola.
A transformação do curvilíneo em retilíneo é feita por Arquimedes através do chamado método "de exaustão". Se um triângulo é inscrito num círculo, sua área é tão claramente menor que a do círculo quanto a do triângulo circunscrito é maior. No entanto - eis o procedimento adotado por Arquirnedes - multiplicando-se o número de lados dessas figuras, as áreas dos polígonos formados, inscritos e circunscritos, já se aproximam mais da área do círculo. E com o multiplicar sucessivo dos lados, os polígonos assim formados apresentam áreas que crescem (para os inscritos) e diminuem (para os circunscritos), aproximando-se da do círculo, embora nunca coincidam com ela.
Arquimedes conseguiu ir multiplicando o número de lados dos polígonos até obter figuras de 96 lados; verificou que as áreas respectivas, apesar de cada vez mais próximas do círculo, eram sempre um pouco maiores ou um pouco menores. Havia aqui também um procedimento que subentendia a aproximação de um valor exato - a área do círculo; esta era um "limite" a ser atingido, uma "justa medida" que só permitia abordagens aproximadas.
O que estava implícito nesse método de resolução de um problema geométrico era - como no caso do estabelecimento do valor de "pi" - a existência de valores infinitesimais, que justificavam a gradativa variação de tamanhos e grandezas. Aqui também Arquimedes antecipa conquistas que a Matemática só efetivará plenamente no final do século XVII, com o cálculo infinitesimal de Leibniz e Newton.
A liberdade não era, porém, patrimonio de todos os gregos. Muitos eram escravos e, por isso, destituídos do direito de cidadania. O filósofo Aristóteles chega a afirmar que para alguns a escravidão era um fato natural e inerente à natureza dos indivíduos que, não possuindo certas capacidades. intelectuais de raciocínio abstrato (a "alma poética" para os gregos), deviam, como escravos, se ocupar apenas de atividades manuais.
Esse preconceito que, com raras exceções, era generalizado na sociedade escravista dos gregos, não poderia deixar de repercutir, além do campo propriamente político, no desenvolvimento da investigação científica e filosófica. O menosprezo pelas atividades manuais, exercidas por homens sem liberdade, foi certamente o fator decisivo para restringir a ciência grega ao nível quase exclusivamente teórico e para impedir o desenvolvimento da experimentação. A ciência deveria ser fruto do intelecto de homens livres e, portanto, capazes de especulação - e não o resultado de simples manipulações e experiências.Poucos escaparam às limitações desse modo de pensar, que criava obstáculos à verificação empírica e bloqueava o campo das aplicações práticas dos conhecimentos teóricos. O próprio Arquimedes pagou tributo, ao que parece, a esse preconceito de natureza sócio-econômica. Embora precursor do moderno método experimental, e apesar de ter sido o maior engenheiro da Antigüidade, também ele considerava como suprema realização da inteligência humana as verdades científicas abstratas - que as matemáticas formulavam plenamente. Conta Plutarco que, quando solicitado a escrever um manual de engenharia, Arquimedes se negou, alegando que "considerava o trabalho de engenheiro, assim como tudo o que dissesse respeito às necessidades da vida, como algo sem nobreza e vulgar". Ele desejava que sua fama diante da posteridade fosse fundada inteiramente em sua contribuição à teoria pura. O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de "pi" por aproximações sucessivas, foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade. [1]

[1] - http://www.saladefisica.cjb.net/

GRANDES MATEMÁTICOS - TALES DE MILETO

Meio homem, meio lenda, Tales teve uma ascendência histórica obscura. Hábil comerciante, filósofo e matemático, sua obra está na transformação da geometria: de um aglomerado de noções esparsas, em um sistema lógico e coerente.
A vida dos antigos pensadores gregos é freqüentemente conhecida apenas de maneira incompleta. Realmente, os primeiros biógrafos não achavam correto divulgar fatos menos importantes concernentes à personalidade dos sábios. Eles julgavam as descobertas destes homens mais que suficientes para que fossem considerados como seres bastante superiores aos comuns mortais. E, como tais, deveriam ter uma imagem semelhante à dos deuses, sendo desprezados os fatos mais corriqueiros de sua vida.
Sobre Tales, embora algumas informações adicionais tenham chegado até hoje, também não se conhece muita coisa. Sabe-se que Tales era filho de pais ricos e nobres: Esamio e Cleobulina, e que nasceu aproximadamente na metade do século VII a.C. Todavia, sua nacionalidade não é conhecida. Heródoto afirma que era fenício, mas outros historiadores não estão seguros a esse respeito. Os estudos de Zeller, historiador da filosofia, levam a crer que fosse originário da Ásia Menor, não sendo confirmado que tenha vindo ao mundo em Mileto, pátria que comumente se lhe atribui.
Se sua cidade natal fosse determinada com precisão, poder-se-ia discutir muito sobre as influências etnológicas que pudessem ter conferido à personalidade de Tales seus múltiplos aspectos, incomuns e interessantes. Poderia ter adquirido dos jônios a capacidade inventiva; ou o talento dos fenícios para os negócios. Contudo, são conjecturas sem fundamento, uma vez que não se dispõem de fontes seguras de informação.
Também sobre os primeiros anos de sua vida muito pouco é conhecido; em sua vida de adulto foi comerciante, demonstrando talento excepcional nessa atividade a ponto de se tornar rico e ganhar condições para viajar muito. Visitou o Egito, onde entrou em contato com a científica - em particular astronômica e geométrica - já então bastante evoluída.
Transcorriam os primeiros anos de migração da cultura grega para o Egito. Mas os gregos que para lá iam, em matéria de Ciência, talvez mais fossem aprender que ensinar. Tales aprendeu ali a teoria dos eclipses do Sol e da Lua, ou, pelo menos, que esses fenômenos se repetem dentro de um ciclo tal que sua previsão se torna possível. Entre os egípcios, a previsão dos eclipses só aparece alguns séculos mais tarde; é pura lenda, portanto, que Tales (utilizando-se dos estudos feitos nos anos passados no Egito) tenha previsto, assinalando com exatidão a hora e o dia em que ocorreria o fenômeno, o eclipse solar de maio de 585 a.C. Todavia, sua fama permanece ligada-a esta previsão mencionada por Heródoto.[1]


LENDAS SOBRE TALES

Conta-se que Tales, considerado o primeiro pensador do Ocidente, era tão distraído que certa vez ao olhar para céu caiu num buraco, sendo, por isso, chamado de lunático.Conta-se também que Tales era tão sabido que, prevendo pela meteorologia uma colheita abundante, comprou todos os instrumentos usados para processar a azeitona, arrendando-os tempos depois com um grande lucro. Essas duas anedotas referem-se ao mesmo filósofo - Tales de Mileto - e até hoje servem para ilustrar as relações contraditórias entre a filosofia e a vida prática.Tales nasceu na Ásia Menor, na antiga colônia grega de Mileto. É considerado o filósofo da physis, a substância natural de que tudo é formado. Sua grande contribuição foi à busca de um princípio único para as coisas da natureza.Embora não existam fragmentos da obra de Tales, seu pensamento pode ser conhecido a partir da "Metafísica", obra do também filósofo grego Aristóteles.Tales foi comerciante, o que lhe rendeu recursos suficientes para dedicar-se a suas pesquisas. Tales provavelmente viajou para o Egito e a Babilônia, entrando em contato com astrônomos e matemáticos. Depois de aposentado, passou a dedicar-se à matemática, estabelecendo os fundamentos da geometria.Atribui-se a Tales diversas descobertas matemáticas. Além de estudar a geometria do círculo e do triângulo isósceles, Tales demonstrou o cálculo da altura de uma pirâmide, baseado no comprimento de sua sombra. Segundo o historiador Heródoto, Tales previu a ocorrência de um eclipse solar no dia 28 de maio de 585 a.C. Aristóteles chegou a considerar este o momento do nascimento da filosofia. [2]

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA:
[1] http://www.cefetsp.br/edu/guerato/mat_bio_mileto.htm

[2] http://educacao.uol.com.br/biografias/ult1789u367.jhtm

GRANDES MATEMÁTICOS - PITÁGORAS DE SAMOS

Pitágoras

(582 a. C – 497 a. C)

Pitágoras nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, e é provável que tenha viajado pela Ásia Menor e pelo Egito, como fizeram muitos filósofos gregos. Supõe-se também que tenha sido aluno de Tales. Há registro, porém, de que se mudou para o sul da Itália com cerca de 50 anos de idade. Na época, essa região era parte do mundo grego, e ali Pitágoras fundaria um núcleo de estudos.
Assim que ele morreu, os adeptos de Pitágoras proclamaram seus dons sobrenaturais. "Há três espécies de seres racionais", declaravam, "os homens, os deuses e os que se parecem com Pitágoras". Como muitos sábios da Antigüidade clássica, Pitágoras tem seu perfil traçado em obras que atravessaram os séculos. Traduzidos, censurados ou rescritos por gerações de escribas, cronistas e historiadores, esses livros provavelmente não seriam reconhecidos por seus primitivos autores. Entretanto, eles permitem estabelecer com segurança a existência de alguns homens como Aristóteles e Hipócrates. O mesmo não acontece com outros, que os próprios antigos não saberiam separar da lenda.
É o caso de Pitágoras, um personagem que os autores modernos mencionam com grande cautela, para evitar deslizes mais sérios. Os dados biográficos disponíveis são freqüentemente contraditórios, quando não nitidamente fantasiosos. E de um modo geral, não merecem confiança. Certos textos, por exemplo, falam de seu amor pelos passarinhos e de sua moral inatacável, sem esquecer uma infância feliz, toda ela passada entre os maiores filósofos da época, em estudos árduos e profundos, a revelar "uma precocidade realmente extraordinária". Isso tudo exige muito da imaginação do leitor. Porém, se Pitágoras existiu, deve ter nascido por volta do século VI a.C. O que certamente existiu foi à escola filosófica chamada pitagórica, sobre a qual os cronistas estão de acordo. Aristóteles, por exemplo, nunca cita Pitágoras, só conhece os pitagóricos.
Devido aos costumes dessa escola (diz-se que seus integrantes não se conheciam uns aos outros, pois se reuniam encapuzados), é difícil especificar o papel desempenhado por esta ou aquela figura na elaboração da doutrina, principalmente quanto à sua origem. Parece que os primeiros pitagóricos foram responsáveis pelo conceito de esfericidade da Terra, mas não se pode atribuir a ninguém em especial a autoria da afirmação.
No terreno científico, o pitagorismo centralizou seus esforços na matemática. No campo da "física", isto é, da interpretação material do mundo, a originalidade da escola consistiu na importância dada às oposições, em número de dez, cinco das quais de natureza matemática: limitado-ilimitado; par-ímpar; uno-múltiplo; reto-curvo; quadrado-heteromorfo. Essa visão do mundo, regido por tais oposições, deu aos pitagóricos uma nova característica filosófica: o pluralismo, contraposto ao monismo que via os acontecimentos da natureza como manifestações de um único fenômeno, o movimento.
Para os pitagóricos, o número era o modelo das coisas. Isso levou Aristóteles a dizer mais tarde que para eles os números eram os elementos constitutivos da matéria. Segundo alguns, esse "atomismo" matemático constitui o prenúncio da escola de Abdera, que estabeleceu, na pessoa de Demócrito, o conceito de atomismo físico.
O pitagorismo desenvolveu também um grande esforço no sentido de relacionar a astronomia com a matemática, usando para isso a aritmética, a geometria e até a música. No entanto, os pitagóricos não diferiam profundamente dos outros filósofos gregos, mais preocupados com jogos intelectuais do que com observações práticas: as teses eram enunciadas com o fim de adaptar a realidade à idéia. Esse procedimento, levado às suas maiores conseqüências, pode ser observado em Aristóteles, que governou o pensamento filosófico e científico da humanidade durante mais de mil anos.
O pressuposto filosófico de que os números são o modelo das coisas dominou a escola pitagórica. Assim, a determinados números, principalmente os dez primeiros, eram atribuídas virtudes especiais. Isso levou o pitagorismo a concentrar suas atenções nos números inteiros, em detrimento dos fracionários e irracionais. Estes últimos, cuja descoberta se deve aos próprios pitagóricos, eram sistematicamente desprezados nos cálculos aritméticos.
Dessa maneira, eles desenvolveram a teoria dos números figurados, num esforço para conceber o número em função do espaço, e vice-versa. Os números eram representados através de agrupamentos de pontos, formando figuras. Havia, por exemplo, os números quadrados, como 4 e 9. Cada ponto, símbolo de uma unidade e "átomo" matemático, era circundado por um espaço vazio, não admitindo nenhum fracionamento. A reunião desses pontos fazia-se de acordo com leis bem definidas, desenvolvendo-se as figuras de uma geometria baseada no número inteiro, a aritmogeometria. Em conseqüência, os números eram "lineares", "planos" e "sólidos" Cada um deles podia, certamente, assumir diversas formas, mas havia uma que os caracterizava: por exemplo, 7 era primo e linear, 4 plano e 8 sólido.
A formação de números figurados obedecia à regra geral de que deviam ser obtidos, não através de multiplicações, mas por adições de termos desiguais, mediante somas de séries. Os mais simples entre os números planos eram os triangulares e os quadrados. Os triangulares originavam-se pelas somas dos primeiros números inteiros. Logo, eram triangulares: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; etc. Os quadrados, por sua vez, eram conseguidos pela soma dos números a partir da unidade: 1; 1 + 3 = 4; 4 + 5 = 9; 9 + 7 = 1 6; etc.
O número 1, que é triângulo, quadrado e cubo, dá origem a todos os outros. As figuras representativas dos números desenvolviam-se por crescimento gnomônico, isto é, acrescentando um elemento que não alterava a forma característica da "família".

Mostrando a lógica e a generalidade de alguns teoremas, até então verificados somente em casos particulares, os pitagóricos elevaram a matemática à dignidade de uma Ciência. Mais ainda, intuíram a universalidade de suas aplicações, situando-a assim na dianteira das Ciências. A mais célebre dessas generalizações, que leva o nome do suposto fundador da escola, é o teorema de Pitágoras. A relação existente entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo (a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) já era bem conhecida dos egípcios e babilônios, que a comprovaram em vários casos.
A demonstração da relação, sem o emprego de números "especiais", foi conseguida a partir de um problema para o qual não existe solução numérica, o da duplicação do quadrado. Com efeito, demonstrou-se que a relação entre a diagonal e o lado do quadrado é um número irracional - raiz quadrada de 2 - e que um quadrado construído sobre a hipotenusa tinha o dobro de área do quadrado original. De qualquer maneira, o teorema de Pitágoras não é suficientemente geral, pois ele é verdadeiro não apenas para as áreas de quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo, mas para qualquer outra figura regular. Até aí os pitagóricos não chegaram; esta última generalização foi introduzida mais tarde.
Pode-se imaginar com que decepção os pitagóricos constataram a existência de números - os irracionais - que não se enquadravam perfeitamente no edifício de sua "concepção numérica" do Universo. Inicialmente, as quantidades irracionais foram qualificadas como indizíveis, numa evidente alusão à confusão que trouxeram: os irracionais significavam um verdadeiro malogro da aritmogeometria, uma insuficiência na linguagem e nos símbolos.
O reconhecimento do fracasso e sua aceitação figuram entre os pontos de honra da escola pitagórica, que nisso foi pouco imitada ao longo das épocas. Surpreendentemente, eles admitiram estar diante de dificuldade insuperável, colocando-se de propósito num beco sem saída, pela exigência da demonstração.
Introdutores do rigor demonstrativo e da generalização dos resultados, os pitagóricos garantiram assim seu lugar na história da matemáticas.[1]

[1] http://www.saladefisica.cjb.net/

GRANDES MATEMÁTICOS - EUCLIDES DE ALEXANDRIA

EUCLIDES DE ALEXANDRIA
(360 - 295 a. C.)
Professor, matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos, puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia de Platão, em pleno florescimento da cultura helenística. Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de professores da recém fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a. C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes, sendo cinco sobre geometria plana, três sobre números, um sobre a teoria das proporções, um sobre incomensuráveis e os três últimos sobre geometria no espaço, escrita em grego, que cobria toda a aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como Hipócrates e Eudóxio, sistematizava todo o conhecimento geométrico dos antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado. Após sua primeira edição foi copiado e recopiado inúmeras vezes e, versado para o árabe (774), tornando-se o mais influente texto científico de todos os tempos e um dos com maior número de publicações ao longo da história. Depois da queda do Império Romano, os seus livros foram recuperados para a sociedade européia pelos estudiosos árabes da península ibérica. Escreveu ainda Óptica (295 a. C.), sobre a ótica da visão e sobre astrologia, astronomia, música e mecânica, além de outros livros sobre matemática. Entre eles citam-se Lugares de superfície, Pseudaria e Porismas. Algumas das suas obras como Os elementos, Os dados, outro livro de texto, uma espécie de manual de tabelas de uso interno na Academia e complemento dos seis primeiros volumes de Os elementos, Divisão de figuras, sobre a divisão geométrica de figuras planas, Os fenômenos, sobre astronomia, e Óptica, sobre a visão, sobreviveram parcialmente e hoje são, depois de A esfera de Autólico, os mais antigos tratados científicos gregos existentes. Pela sua maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habilíssimo professor. [1]

[1] Fonte: Site Só Biografias : http://www.sobiografias.hpg.com.br/

Como apresentar um trabalho acadêmico

Para a elaboração de um bom trabalho acadêmico, você pode seguir os seguintes passos:

Formatação

Margem superior: 3,0
Margem inferior: 3,0
Margem direita: 3,0
Margem esquerda: 3,0
Papel: A4
Fonte:Arial ou Times New Roman – tamanho 12
Espaçamento: 1,5 ou Duplo

Composição:

Capa
Folha de Rosto
Dedicatória
Sumário
Corpo
Conclusão
Referências Bibliográficas

Lembre-se que a formatação de um trabalho pode variar de professor para professor e assim, você pode adaptar as dicas dadas por este blog, como referência para uma montagem mais específica, de acordo com a exigência do seu professor.

Bom trabalho e lembre-se que o conhecimento não ocupa espaço.